Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60091 / 83670
↖ ↑ ↗
← S 44.508259°
W 14.955139°		 ← 217.81 m → S 44.508259°
W 14.952392°		 →
↑
217.82 m
↓
↑
217.82 m
↓
S 44.510218°
W 14.955139°		 ← 217.81 m →
47 444 m²		 S 44.510218°
W 14.952392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458461761474609 y=0.638355255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458461761474609 × 217)
    floor (0.458461761474609 × 131072)
    floor (60091.5)     		tx = 60091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638355255126953 × 217)
    floor (0.638355255126953 × 131072)
    floor (83670.5)     		ty = 83670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60091 / 83670 ti = "17/60091/83670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60091/83670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60091 ÷ 217
    60091 ÷ 131072     		x = 0.458457946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83670 ÷ 217
    83670 ÷ 131072     		y = 0.638351440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458457946777344 × 2 - 1) × π
    -0.0830841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26101642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638351440429688 × 2 - 1) × π
    -0.276702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.869287737710098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26101642} λ = -0.26101642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869287737710098))-π/2
    2×atan(0.41925005893344)-π/2
    2×0.396990332722695-π/2
    0.793980665445391-1.57079632675     		φ = -0.77681566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26101642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.955139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77681566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.508259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60091 KachelY 83670 -0.26101642 -0.77681566 -14.955139 -44.508259
    Oben rechts KachelX + 1 60092 KachelY 83670 -0.26096848 -0.77681566 -14.952392 -44.508259
    Unten links KachelX 60091 KachelY + 1 83671 -0.26101642 -0.77684985 -14.955139 -44.510218
    Unten rechts KachelX + 1 60092 KachelY + 1 83671 -0.26096848 -0.77684985 -14.952392 -44.510218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77681566--0.77684985) × R
    3.4189999999934e-05 × 6371000     		dl = 217.824489999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77681566--0.77684985) × R
    3.4189999999934e-05 × 6371000     		dr = 217.824489999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26101642--0.26096848) × cos(-0.77681566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713149410677145 × 6371000     		do = 217.81418648674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26101642--0.26096848) × cos(-0.77684985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.71312544265776 × 6371000     		du = 217.806866036683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77681566)-sin(-0.77684985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713149410677145-0.71312544265776)×R²
    abs(-0.26096848--0.26101642)×2.39680193855341e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39680193855341e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39680193855341e-05×40589641000000     		ar = 47444.4668041562m²