Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60091 / 83662
↖ ↑ ↗
← S 44.492587°
W 14.955139°		 ← 217.87 m → S 44.492587°
W 14.952392°		 →
↑
217.82 m
↓
↑
217.82 m
↓
S 44.494546°
W 14.955139°		 ← 217.87 m →
47 457 m²		 S 44.494546°
W 14.952392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458461761474609 y=0.638294219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458461761474609 × 217)
    floor (0.458461761474609 × 131072)
    floor (60091.5)     		tx = 60091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638294219970703 × 217)
    floor (0.638294219970703 × 131072)
    floor (83662.5)     		ty = 83662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60091 / 83662 ti = "17/60091/83662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60091/83662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60091 ÷ 217
    60091 ÷ 131072     		x = 0.458457946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83662 ÷ 217
    83662 ÷ 131072     		y = 0.638290405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458457946777344 × 2 - 1) × π
    -0.0830841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26101642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638290405273438 × 2 - 1) × π
    -0.276580810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.868904242513138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26101642} λ = -0.26101642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868904242513138))-π/2
    2×atan(0.41941087015056)-π/2
    2×0.397127095790174-π/2
    0.794254191580347-1.57079632675     		φ = -0.77654214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26101642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.955139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77654214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.492587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60091 KachelY 83662 -0.26101642 -0.77654214 -14.955139 -44.492587
    Oben rechts KachelX + 1 60092 KachelY 83662 -0.26096848 -0.77654214 -14.952392 -44.492587
    Unten links KachelX 60091 KachelY + 1 83663 -0.26101642 -0.77657633 -14.955139 -44.494546
    Unten rechts KachelX + 1 60092 KachelY + 1 83663 -0.26096848 -0.77657633 -14.952392 -44.494546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77654214--0.77657633) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dl = 217.824490000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77654214--0.77657633) × R
    3.4190000000045e-05 × 6371000     		dr = 217.824490000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26101642--0.26096848) × cos(-0.77654214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713341124818823 × 6371000     		do = 217.872740920331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26101642--0.26096848) × cos(-0.77657633) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713317163469345 × 6371000     		du = 217.865422507435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77654214)-sin(-0.77657633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713341124818823-0.713317163469345)×R²
    abs(-0.26096848--0.26101642)×2.39613494783519e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39613494783519e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39613494783519e-05×40589641000000     		ar = 47457.2216157578m²