Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60091 / 82697
↖ ↑ ↗
← S 42.571287°
W 14.955139°		 ← 224.93 m → S 42.571287°
W 14.952392°		 →
↑
224.90 m
↓
↑
224.90 m
↓
S 42.573310°
W 14.955139°		 ← 224.92 m →
50 584 m²		 S 42.573310°
W 14.952392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458461761474609 y=0.630931854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458461761474609 × 217)
    floor (0.458461761474609 × 131072)
    floor (60091.5)     		tx = 60091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630931854248047 × 217)
    floor (0.630931854248047 × 131072)
    floor (82697.5)     		ty = 82697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60091 / 82697 ti = "17/60091/82697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60091/82697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60091 ÷ 217
    60091 ÷ 131072     		x = 0.458457946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82697 ÷ 217
    82697 ÷ 131072     		y = 0.630928039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458457946777344 × 2 - 1) × π
    -0.0830841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26101642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630928039550781 × 2 - 1) × π
    -0.261856079101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.822645134379784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26101642} λ = -0.26101642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822645134379784))-π/2
    2×atan(0.439268193029066)-π/2
    2×0.413893600162427-π/2
    0.827787200324854-1.57079632675     		φ = -0.74300913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26101642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.955139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74300913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.571287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60091 KachelY 82697 -0.26101642 -0.74300913 -14.955139 -42.571287
    Oben rechts KachelX + 1 60092 KachelY 82697 -0.26096848 -0.74300913 -14.952392 -42.571287
    Unten links KachelX 60091 KachelY + 1 82698 -0.26101642 -0.74304443 -14.955139 -42.573310
    Unten rechts KachelX + 1 60092 KachelY + 1 82698 -0.26096848 -0.74304443 -14.952392 -42.573310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74300913--0.74304443) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dl = 224.896299999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74300913--0.74304443) × R
    3.52999999999604e-05 × 6371000     		dr = 224.896299999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26101642--0.26096848) × cos(-0.74300913) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.736436198444729 × 6371000     		do = 224.926570872881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26101642--0.26096848) × cos(-0.74304443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.736412317288681 × 6371000     		du = 224.919276953123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74300913)-sin(-0.74304443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736436198444729-0.736412317288681)×R²
    abs(-0.26096848--0.26101642)×2.38811560472341e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38811560472341e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38811560472341e-05×40589641000000     		ar = 50584.3333783908m²