Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60090 / 85562
↖ ↑ ↗
← S 48.096426°
W 14.957886°		 ← 203.99 m → S 48.096426°
W 14.955139°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
S 48.098260°
W 14.957886°		 ← 203.98 m →
41 613 m²		 S 48.098260°
W 14.955139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458454132080078 y=0.652790069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458454132080078 × 217)
    floor (0.458454132080078 × 131072)
    floor (60090.5)     		tx = 60090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652790069580078 × 217)
    floor (0.652790069580078 × 131072)
    floor (85562.5)     		ty = 85562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60090 / 85562 ti = "17/60090/85562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60090/85562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60090 ÷ 217
    60090 ÷ 131072     		x = 0.458450317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85562 ÷ 217
    85562 ÷ 131072     		y = 0.652786254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458450317382812 × 2 - 1) × π
    -0.083099365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26106436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.305572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.959984351791245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26106436} λ = -0.26106436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959984351791245))-π/2
    2×atan(0.382898877609802)-π/2
    2×0.365677666811718-π/2
    0.731355333623435-1.57079632675     		φ = -0.83944099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26106436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.957886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83944099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.096426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60090 KachelY 85562 -0.26106436 -0.83944099 -14.957886 -48.096426
    Oben rechts KachelX + 1 60091 KachelY 85562 -0.26101642 -0.83944099 -14.955139 -48.096426
    Unten links KachelX 60090 KachelY + 1 85563 -0.26106436 -0.83947301 -14.957886 -48.098260
    Unten rechts KachelX + 1 60091 KachelY + 1 85563 -0.26101642 -0.83947301 -14.955139 -48.098260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83944099--0.83947301) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dl = 203.99941999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83944099--0.83947301) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dr = 203.99941999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26106436--0.26101642) × cos(-0.83944099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667878984481669 × 6371000     		do = 203.987433065629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26106436--0.26101642) × cos(-0.83947301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667855152617566 × 6371000     		du = 203.980154200899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83944099)-sin(-0.83947301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667878984481669-0.667855152617566)×R²
    abs(-0.26101642--0.26106436)×2.38318641030411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38318641030411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38318641030411e-05×40589641000000     		ar = 41612.57559412m²