Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6009 / 7046
↖ ↑ ↗
← N 24.407138°
W 47.966308°		 ← 2 224.87 m → N 24.407138°
W 47.944336°		 →
↑
2 225.07 m
↓
↑
2 225.07 m
↓
N 24.387128°
W 47.966308°		 ← 2 225.22 m →
4 950 888 m²		 N 24.387128°
W 47.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366790771484375 y=0.430084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366790771484375 × 214)
    floor (0.366790771484375 × 16384)
    floor (6009.5)     		tx = 6009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430084228515625 × 214)
    floor (0.430084228515625 × 16384)
    floor (7046.5)     		ty = 7046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6009 / 7046 ti = "14/6009/7046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6009/7046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6009 ÷ 214
    6009 ÷ 16384     		x = 0.36676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7046 ÷ 214
    7046 ÷ 16384     		y = 0.4300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.2664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83717001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4300537109375 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.439485495716675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83717001} λ = -0.83717001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.439485495716675))-π/2
    2×atan(1.5519085494736)-π/2
    2×0.998390622218079-π/2
    1.99678124443616-1.57079632675     		φ = 0.42598492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83717001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42598492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.407138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6009 KachelY 7046 -0.83717001 0.42598492 -47.966308 24.407138
    Oben rechts KachelX + 1 6010 KachelY 7046 -0.83678652 0.42598492 -47.944336 24.407138
    Unten links KachelX 6009 KachelY + 1 7047 -0.83717001 0.42563567 -47.966308 24.387128
    Unten rechts KachelX + 1 6010 KachelY + 1 7047 -0.83678652 0.42563567 -47.944336 24.387128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42598492-0.42563567) × R
    0.000349249999999968 × 6371000     		dl = 2225.07174999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42598492-0.42563567) × R
    0.000349249999999968 × 6371000     		dr = 2225.07174999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83717001--0.83678652) × cos(0.42598492) × R
    0.000383490000000042 × 0.910632188150882 × 6371000     		do = 2224.87003034054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83717001--0.83678652) × cos(0.42563567) × R
    0.000383490000000042 × 0.910776448955758 × 6371000     		du = 2225.22249047263m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42598492)-sin(0.42563567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910632188150882-0.910776448955758)×R²
    abs(-0.83678652--0.83717001)×0.00014426080487584×R²
    0.000383490000000042×0.00014426080487584×6371000²
    0.000383490000000042×0.00014426080487584×40589641000000     		ar = 4950887.62679737m²