Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60088 / 85560
↖ ↑ ↗
← S 48.092757°
W 14.963379°		 ← 204 m → S 48.092757°
W 14.960632°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
S 48.094592°
W 14.963379°		 ← 203.99 m →
41 616 m²		 S 48.094592°
W 14.960632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458438873291016 y=0.652774810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458438873291016 × 217)
    floor (0.458438873291016 × 131072)
    floor (60088.5)     		tx = 60088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652774810791016 × 217)
    floor (0.652774810791016 × 131072)
    floor (85560.5)     		ty = 85560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60088 / 85560 ti = "17/60088/85560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60088/85560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60088 ÷ 217
    60088 ÷ 131072     		x = 0.45843505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85560 ÷ 217
    85560 ÷ 131072     		y = 0.65277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.0831298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26116023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.3055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.959888477992004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26116023} λ = -0.26116023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959888477992004))-π/2
    2×atan(0.382935589339741)-π/2
    2×0.365709684001715-π/2
    0.731419368003431-1.57079632675     		φ = -0.83937696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26116023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.963379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83937696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.092757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60088 KachelY 85560 -0.26116023 -0.83937696 -14.963379 -48.092757
    Oben rechts KachelX + 1 60089 KachelY 85560 -0.26111229 -0.83937696 -14.960632 -48.092757
    Unten links KachelX 60088 KachelY + 1 85561 -0.26116023 -0.83940898 -14.963379 -48.094592
    Unten rechts KachelX + 1 60089 KachelY + 1 85561 -0.26111229 -0.83940898 -14.960632 -48.094592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83937696--0.83940898) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dl = 203.999420000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83937696--0.83940898) × R
    3.20200000000215e-05 × 6371000     		dr = 203.999420000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26116023--0.26111229) × cos(-0.83937696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66792663871329 × 6371000     		do = 204.001987894586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26116023--0.26111229) × cos(-0.83940898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667902808218524 × 6371000     		du = 203.994709448087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83937696)-sin(-0.83940898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66792663871329-0.667902808218524)×R²
    abs(-0.26111229--0.26116023)×2.38304947661749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38304947661749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38304947661749e-05×40589641000000     		ar = 41615.5448134029m²