Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60087 / 85561
↖ ↑ ↗
← S 48.094592°
W 14.966126°		 ← 203.99 m → S 48.094592°
W 14.963379°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
S 48.096426°
W 14.966126°		 ← 203.99 m →
41 601 m²		 S 48.096426°
W 14.963379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458431243896484 y=0.652782440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458431243896484 × 217)
    floor (0.458431243896484 × 131072)
    floor (60087.5)     		tx = 60087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652782440185547 × 217)
    floor (0.652782440185547 × 131072)
    floor (85561.5)     		ty = 85561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60087 / 85561 ti = "17/60087/85561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60087/85561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60087 ÷ 217
    60087 ÷ 131072     		x = 0.458427429199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85561 ÷ 217
    85561 ÷ 131072     		y = 0.652778625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458427429199219 × 2 - 1) × π
    -0.0831451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26120817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652778625488281 × 2 - 1) × π
    -0.305557250976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.959936414891625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26120817} λ = -0.26120817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959936414891625))-π/2
    2×atan(0.38291723303481)-π/2
    2×0.365693675121147-π/2
    0.731387350242295-1.57079632675     		φ = -0.83940898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26120817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.966126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83940898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.094592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60087 KachelY 85561 -0.26120817 -0.83940898 -14.966126 -48.094592
    Oben rechts KachelX + 1 60088 KachelY 85561 -0.26116023 -0.83940898 -14.963379 -48.094592
    Unten links KachelX 60087 KachelY + 1 85562 -0.26120817 -0.83944099 -14.966126 -48.096426
    Unten rechts KachelX + 1 60088 KachelY + 1 85562 -0.26116023 -0.83944099 -14.963379 -48.096426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83940898--0.83944099) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83940898--0.83944099) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26120817--0.26116023) × cos(-0.83940898) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667902808218524 × 6371000     		do = 203.994709448323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26120817--0.26116023) × cos(-0.83944099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667878984481669 × 6371000     		du = 203.987433065865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83940898)-sin(-0.83944099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667902808218524-0.667878984481669)×R²
    abs(-0.26116023--0.26120817)×2.38237368550553e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38237368550553e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38237368550553e-05×40589641000000     		ar = 41601.0639541204m²