Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60086 / 41439
↖ ↑ ↗
← N 55.029596°
W 14.968872°		 ← 175.02 m → N 55.029596°
W 14.966126°		 →
↑
175.01 m
↓
↑
175.01 m
↓
N 55.028022°
W 14.968872°		 ← 175.03 m →
30 631 m²		 N 55.028022°
W 14.966126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458423614501953 y=0.316158294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458423614501953 × 217)
    floor (0.458423614501953 × 131072)
    floor (60086.5)     		tx = 60086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316158294677734 × 217)
    floor (0.316158294677734 × 131072)
    floor (41439.5)     		ty = 41439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60086 / 41439 ti = "17/60086/41439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60086/41439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60086 ÷ 217
    60086 ÷ 131072     		x = 0.458419799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41439 ÷ 217
    41439 ÷ 131072     		y = 0.316154479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458419799804688 × 2 - 1) × π
    -0.083160400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26125610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316154479980469 × 2 - 1) × π
    0.367691040039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.15513547014449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26125610} λ = -0.26125610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15513547014449))-π/2
    2×atan(3.17445343206501)-π/2
    2×1.26562198461807-π/2
    2.53124396923613-1.57079632675     		φ = 0.96044764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26125610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.968872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96044764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.029596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60086 KachelY 41439 -0.26125610 0.96044764 -14.968872 55.029596
    Oben rechts KachelX + 1 60087 KachelY 41439 -0.26120817 0.96044764 -14.966126 55.029596
    Unten links KachelX 60086 KachelY + 1 41440 -0.26125610 0.96042017 -14.968872 55.028022
    Unten rechts KachelX + 1 60087 KachelY + 1 41440 -0.26120817 0.96042017 -14.966126 55.028022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96044764-0.96042017) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dl = 175.011370000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96044764-0.96042017) × R
    2.74700000000294e-05 × 6371000     		dr = 175.011370000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26125610--0.26120817) × cos(0.96044764) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573153225709653 × 6371000     		do = 175.019232503652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26125610--0.26120817) × cos(0.96042017) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.573175735735912 × 6371000     		du = 175.026106210966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96044764)-sin(0.96042017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573153225709653-0.573175735735912)×R²
    abs(-0.26120817--0.26125610)×2.25100262590816e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25100262590816e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25100262590816e-05×40589641000000     		ar = 30630.9571470565m²