Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60085 / 83658
↖ ↑ ↗
← S 44.484749°
W 14.971619°		 ← 217.90 m → S 44.484749°
W 14.968872°		 →
↑
217.89 m
↓
↑
217.89 m
↓
S 44.486709°
W 14.971619°		 ← 217.89 m →
47 477 m²		 S 44.486709°
W 14.968872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458415985107422 y=0.638263702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458415985107422 × 217)
    floor (0.458415985107422 × 131072)
    floor (60085.5)     		tx = 60085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638263702392578 × 217)
    floor (0.638263702392578 × 131072)
    floor (83658.5)     		ty = 83658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60085 / 83658 ti = "17/60085/83658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60085/83658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60085 ÷ 217
    60085 ÷ 131072     		x = 0.458412170410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83658 ÷ 217
    83658 ÷ 131072     		y = 0.638259887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458412170410156 × 2 - 1) × π
    -0.0831756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26130404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638259887695312 × 2 - 1) × π
    -0.276519775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.868712494914658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26130404} λ = -0.26130404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868712494914658))-π/2
    2×atan(0.419491298888451)-π/2
    2×0.39719549110945-π/2
    0.7943909822189-1.57079632675     		φ = -0.77640534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26130404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.971619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77640534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.484749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60085 KachelY 83658 -0.26130404 -0.77640534 -14.971619 -44.484749
    Oben rechts KachelX + 1 60086 KachelY 83658 -0.26125610 -0.77640534 -14.968872 -44.484749
    Unten links KachelX 60085 KachelY + 1 83659 -0.26130404 -0.77643954 -14.971619 -44.486709
    Unten rechts KachelX + 1 60086 KachelY + 1 83659 -0.26125610 -0.77643954 -14.968872 -44.486709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77640534--0.77643954) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dl = 217.8881999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77640534--0.77643954) × R
    3.41999999999842e-05 × 6371000     		dr = 217.8881999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26130404--0.26125610) × cos(-0.77640534) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713436989906588 × 6371000     		do = 217.902020585702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26130404--0.26125610) × cos(-0.77643954) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.713413024886273 × 6371000     		du = 217.894701051638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77640534)-sin(-0.77643954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713436989906588-0.713413024886273)×R²
    abs(-0.26125610--0.26130404)×2.39650203145425e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39650203145425e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39650203145425e-05×40589641000000     		ar = 47477.4816265335m²