Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60084 / 41411
↖ ↑ ↗
← N 55.073650°
W 14.974365°		 ← 174.86 m → N 55.073650°
W 14.971619°		 →
↑
174.82 m
↓
↑
174.82 m
↓
N 55.072078°
W 14.974365°		 ← 174.87 m →
30 570 m²		 N 55.072078°
W 14.971619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458408355712891 y=0.315944671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458408355712891 × 217)
    floor (0.458408355712891 × 131072)
    floor (60084.5)     		tx = 60084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315944671630859 × 217)
    floor (0.315944671630859 × 131072)
    floor (41411.5)     		ty = 41411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60084 / 41411 ti = "17/60084/41411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60084/41411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60084 ÷ 217
    60084 ÷ 131072     		x = 0.458404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41411 ÷ 217
    41411 ÷ 131072     		y = 0.315940856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.08319091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26135198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315940856933594 × 2 - 1) × π
    0.368118286132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.15647770333385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26135198} λ = -0.26135198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15647770333385))-π/2
    2×atan(3.1787171496311)-π/2
    2×1.26600642575953-π/2
    2.53201285151905-1.57079632675     		φ = 0.96121652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26135198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.974365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96121652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.073650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60084 KachelY 41411 -0.26135198 0.96121652 -14.974365 55.073650
    Oben rechts KachelX + 1 60085 KachelY 41411 -0.26130404 0.96121652 -14.971619 55.073650
    Unten links KachelX 60084 KachelY + 1 41412 -0.26135198 0.96118908 -14.974365 55.072078
    Unten rechts KachelX + 1 60085 KachelY + 1 41412 -0.26130404 0.96118908 -14.971619 55.072078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96121652-0.96118908) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dl = 174.820239999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96121652-0.96118908) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dr = 174.820239999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26135198--0.26130404) × cos(0.96121652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572522999009535 × 6371000     		do = 174.863260639392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26135198--0.26130404) × cos(0.96118908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572545496538835 × 6371000     		du = 174.870131963926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96121652)-sin(0.96118908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572522999009535-0.572545496538835)×R²
    abs(-0.26130404--0.26135198)×2.24975292995033e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24975292995033e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24975292995033e-05×40589641000000     		ar = 30570.2378173416m²