Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60082 / 41421
↖ ↑ ↗
← N 55.057922°
W 14.979858°		 ← 174.93 m → N 55.057922°
W 14.977112°		 →
↑
174.95 m
↓
↑
174.95 m
↓
N 55.056349°
W 14.979858°		 ← 174.94 m →
30 605 m²		 N 55.056349°
W 14.977112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458393096923828 y=0.316020965576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458393096923828 × 217)
    floor (0.458393096923828 × 131072)
    floor (60082.5)     		tx = 60082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316020965576172 × 217)
    floor (0.316020965576172 × 131072)
    floor (41421.5)     		ty = 41421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60082 / 41421 ti = "17/60082/41421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60082/41421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60082 ÷ 217
    60082 ÷ 131072     		x = 0.458389282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41421 ÷ 217
    41421 ÷ 131072     		y = 0.316017150878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458389282226562 × 2 - 1) × π
    -0.083221435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26144785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316017150878906 × 2 - 1) × π
    0.367965698242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.15599833433765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26144785} λ = -0.26144785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15599833433765))-π/2
    2×atan(3.17719373634959)-π/2
    2×1.26586917390428-π/2
    2.53173834780857-1.57079632675     		φ = 0.96094202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26144785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.979858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96094202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.057922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60082 KachelY 41421 -0.26144785 0.96094202 -14.979858 55.057922
    Oben rechts KachelX + 1 60083 KachelY 41421 -0.26139991 0.96094202 -14.977112 55.057922
    Unten links KachelX 60082 KachelY + 1 41422 -0.26144785 0.96091456 -14.979858 55.056349
    Unten rechts KachelX + 1 60083 KachelY + 1 41422 -0.26139991 0.96091456 -14.977112 55.056349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96094202-0.96091456) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dl = 174.947659999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96094202-0.96091456) × R
    2.74599999999792e-05 × 6371000     		dr = 174.947659999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26144785--0.26139991) × cos(0.96094202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572748036874139 × 6371000     		do = 174.931992995716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26144785--0.26139991) × cos(0.96091456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.572770546484417 × 6371000     		du = 174.938868010093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96094202)-sin(0.96091456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572748036874139-0.572770546484417)×R²
    abs(-0.26139991--0.26144785)×2.25096102787203e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25096102787203e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25096102787203e-05×40589641000000     		ar = 30604.5442194592m²