Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60081 / 41842
↖ ↑ ↗
← N 54.390154°
W 14.982605°		 ← 177.84 m → N 54.390154°
W 14.979858°		 →
↑
177.88 m
↓
↑
177.88 m
↓
N 54.388554°
W 14.982605°		 ← 177.84 m →
31 634 m²		 N 54.388554°
W 14.979858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458385467529297 y=0.319232940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458385467529297 × 217)
    floor (0.458385467529297 × 131072)
    floor (60081.5)     		tx = 60081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319232940673828 × 217)
    floor (0.319232940673828 × 131072)
    floor (41842.5)     		ty = 41842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60081 / 41842 ti = "17/60081/41842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60081/41842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60081 ÷ 217
    60081 ÷ 131072     		x = 0.458381652832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41842 ÷ 217
    41842 ÷ 131072     		y = 0.319229125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458381652832031 × 2 - 1) × π
    -0.0832366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26149579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.319229125976562 × 2 - 1) × π
    0.361541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13581689959761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26149579} λ = -0.26149579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13581689959761))-π/2
    2×atan(3.11371609768502)-π/2
    2×1.26004179635918-π/2
    2.52008359271835-1.57079632675     		φ = 0.94928727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26149579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.982605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94928727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.390154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60081 KachelY 41842 -0.26149579 0.94928727 -14.982605 54.390154
    Oben rechts KachelX + 1 60082 KachelY 41842 -0.26144785 0.94928727 -14.979858 54.390154
    Unten links KachelX 60081 KachelY + 1 41843 -0.26149579 0.94925935 -14.982605 54.388554
    Unten rechts KachelX + 1 60082 KachelY + 1 41843 -0.26144785 0.94925935 -14.979858 54.388554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94928727-0.94925935) × R
    2.79200000000701e-05 × 6371000     		dl = 177.878320000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94928727-0.94925935) × R
    2.79200000000701e-05 × 6371000     		dr = 177.878320000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26149579--0.26144785) × cos(0.94928727) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.582262687304668 × 6371000     		do = 177.838012144506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26149579--0.26144785) × cos(0.94925935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.58228538605769 × 6371000     		du = 177.844944927945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94928727)-sin(0.94925935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582262687304668-0.58228538605769)×R²
    abs(-0.26144785--0.26149579)×2.26987530219658e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26987530219658e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26987530219658e-05×40589641000000     		ar = 31634.1434304024m²