Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60080 / 41840
↖ ↑ ↗
← N 54.393352°
W 14.985351°		 ← 177.79 m → N 54.393352°
W 14.982605°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 54.391753°
W 14.985351°		 ← 177.79 m →
31 614 m²		 N 54.391753°
W 14.982605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458377838134766 y=0.319217681884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458377838134766 × 217)
    floor (0.458377838134766 × 131072)
    floor (60080.5)     		tx = 60080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319217681884766 × 217)
    floor (0.319217681884766 × 131072)
    floor (41840.5)     		ty = 41840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60080 / 41840 ti = "17/60080/41840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60080/41840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60080 ÷ 217
    60080 ÷ 131072     		x = 0.4583740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41840 ÷ 217
    41840 ÷ 131072     		y = 0.3192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.083251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26154372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3192138671875 × 2 - 1) × π
    0.361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13591277339685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26154372} λ = -0.26154372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13591277339685))-π/2
    2×atan(3.11401463578782)-π/2
    2×1.26006970713954-π/2
    2.52013941427908-1.57079632675     		φ = 0.94934309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26154372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.985351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94934309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.393352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60080 KachelY 41840 -0.26154372 0.94934309 -14.985351 54.393352
    Oben rechts KachelX + 1 60081 KachelY 41840 -0.26149579 0.94934309 -14.982605 54.393352
    Unten links KachelX 60080 KachelY + 1 41841 -0.26154372 0.94931518 -14.985351 54.391753
    Unten rechts KachelX + 1 60081 KachelY + 1 41841 -0.26149579 0.94931518 -14.982605 54.391753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94934309-0.94931518) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dl = 177.814609999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94934309-0.94931518) × R
    2.79099999999088e-05 × 6371000     		dr = 177.814609999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26154372--0.26149579) × cos(0.94934309) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582217304697639 × 6371000     		do = 177.787058063503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26154372--0.26149579) × cos(0.94931518) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.582239996227927 × 6371000     		du = 177.793987195255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94934309)-sin(0.94931518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582217304697639-0.582239996227927)×R²
    abs(-0.26149579--0.26154372)×2.26915302876662e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.26915302876662e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.26915302876662e-05×40589641000000     		ar = 31613.7524451874m²