Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60078 / 85574
↖ ↑ ↗
← S 48.118434°
W 14.990845°		 ← 203.90 m → S 48.118434°
W 14.988098°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
S 48.120268°
W 14.990845°		 ← 203.89 m →
41 582 m²		 S 48.120268°
W 14.988098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458362579345703 y=0.652881622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458362579345703 × 217)
    floor (0.458362579345703 × 131072)
    floor (60078.5)     		tx = 60078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652881622314453 × 217)
    floor (0.652881622314453 × 131072)
    floor (85574.5)     		ty = 85574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60078 / 85574 ti = "17/60078/85574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60078/85574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60078 ÷ 217
    60078 ÷ 131072     		x = 0.458358764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85574 ÷ 217
    85574 ÷ 131072     		y = 0.652877807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458358764648438 × 2 - 1) × π
    -0.083282470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26163960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652877807617188 × 2 - 1) × π
    -0.305755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.960559594586685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26163960} λ = -0.26163960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960559594586685))-π/2
    2×atan(0.382678681128366)-π/2
    2×0.365485611645884-π/2
    0.730971223291769-1.57079632675     		φ = -0.83982510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26163960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.990845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83982510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.118434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60078 KachelY 85574 -0.26163960 -0.83982510 -14.990845 -48.118434
    Oben rechts KachelX + 1 60079 KachelY 85574 -0.26159166 -0.83982510 -14.988098 -48.118434
    Unten links KachelX 60078 KachelY + 1 85575 -0.26163960 -0.83985711 -14.990845 -48.120268
    Unten rechts KachelX + 1 60079 KachelY + 1 85575 -0.26159166 -0.83985711 -14.988098 -48.120268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83982510--0.83985711) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dl = 203.935709999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83982510--0.83985711) × R
    3.20099999999712e-05 × 6371000     		dr = 203.935709999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26163960--0.26159166) × cos(-0.83982510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66759305371348 × 6371000     		do = 203.900102449402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26163960--0.26159166) × cos(-0.83985711) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66756922108238 × 6371000     		du = 203.892823350412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83982510)-sin(-0.83985711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66759305371348-0.66756922108238)×R²
    abs(-0.26159166--0.26163960)×2.38326310995074e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38326310995074e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38326310995074e-05×40589641000000     		ar = 41581.769931605m²