Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60074 / 41414
↖ ↑ ↗
← N 55.068932°
W 15.001831°		 ← 174.88 m → N 55.068932°
W 14.999085°		 →
↑
174.82 m
↓
↑
174.82 m
↓
N 55.067360°
W 15.001831°		 ← 174.89 m →
30 574 m²		 N 55.067360°
W 14.999085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458332061767578 y=0.315967559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458332061767578 × 217)
    floor (0.458332061767578 × 131072)
    floor (60074.5)     		tx = 60074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315967559814453 × 217)
    floor (0.315967559814453 × 131072)
    floor (41414.5)     		ty = 41414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60074 / 41414 ti = "17/60074/41414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60074/41414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60074 ÷ 217
    60074 ÷ 131072     		x = 0.458328247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41414 ÷ 217
    41414 ÷ 131072     		y = 0.315963745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458328247070312 × 2 - 1) × π
    -0.083343505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26183135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315963745117188 × 2 - 1) × π
    0.368072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15633389263499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26183135} λ = -0.26183135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15633389263499))-π/2
    2×atan(3.1782600489651)-π/2
    2×1.26596525586645-π/2
    2.53193051173291-1.57079632675     		φ = 0.96113418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26183135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.001831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96113418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.068932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60074 KachelY 41414 -0.26183135 0.96113418 -15.001831 55.068932
    Oben rechts KachelX + 1 60075 KachelY 41414 -0.26178341 0.96113418 -14.999085 55.068932
    Unten links KachelX 60074 KachelY + 1 41415 -0.26183135 0.96110674 -15.001831 55.067360
    Unten rechts KachelX + 1 60075 KachelY + 1 41415 -0.26178341 0.96110674 -14.999085 55.067360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96113418-0.96110674) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dl = 174.820239999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96113418-0.96110674) × R
    2.74399999999897e-05 × 6371000     		dr = 174.820239999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26183135--0.26178341) × cos(0.96113418) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572590506700947 × 6371000     		do = 174.883879226199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26183135--0.26178341) × cos(0.96110674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57261300293658 × 6371000     		du = 174.890750155615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96113418)-sin(0.96110674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572590506700947-0.57261300293658)×R²
    abs(-0.26178341--0.26183135)×2.24962356338843e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24962356338843e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24962356338843e-05×40589641000000     		ar = 30573.842328973m²