Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60073 / 59625
↖ ↑ ↗
← S 81.289208°
E149.990845°		 ← 92.50 m → S 81.289208°
E149.996338°		 →
↑
92.51 m
↓
↑
92.51 m
↓
S 81.290040°
E149.990845°		 ← 92.49 m →
8 557 m²		 S 81.290040°
E149.996338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916648864746094 y=0.909812927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916648864746094 × 216)
    floor (0.916648864746094 × 65536)
    floor (60073.5)     		tx = 60073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909812927246094 × 216)
    floor (0.909812927246094 × 65536)
    floor (59625.5)     		ty = 59625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60073 / 59625 ti = "16/60073/59625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60073/59625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60073 ÷ 216
    60073 ÷ 65536     		x = 0.916641235351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59625 ÷ 216
    59625 ÷ 65536     		y = 0.909805297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916641235351562 × 2 - 1) × π
    0.833282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61783409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909805297851562 × 2 - 1) × π
    -0.819610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5748826261917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61783409} λ = 2.61783409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5748826261917))-π/2
    2×atan(0.0761627617874004)-π/2
    2×0.0760160047714694-π/2
    0.152032009542939-1.57079632675     		φ = -1.41876432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61783409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.990845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41876432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.289208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60073 KachelY 59625 2.61783409 -1.41876432 149.990845 -81.289208
    Oben rechts KachelX + 1 60074 KachelY 59625 2.61792996 -1.41876432 149.996338 -81.289208
    Unten links KachelX 60073 KachelY + 1 59626 2.61783409 -1.41877884 149.990845 -81.290040
    Unten rechts KachelX + 1 60074 KachelY + 1 59626 2.61792996 -1.41877884 149.996338 -81.290040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41876432--1.41877884) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dl = 92.5069200008211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41876432--1.41877884) × R
    1.45200000001289e-05 × 6371000     		dr = 92.5069200008211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61783409-2.61792996) × cos(-1.41876432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151447012121113 × 6371000     		do = 92.5019828066158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61783409-2.61792996) × cos(-1.41877884) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151432659587868 × 6371000     		du = 92.4932164548407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41876432)-sin(-1.41877884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151447012121113-0.151432659587868)×R²
    abs(2.61792996-2.61783409)×1.43525332457761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43525332457761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43525332457761e-05×40589641000000     		ar = 8556.66804927087m²