Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60072 / 85576
↖ ↑ ↗
← S 48.122101°
W 15.007324°		 ← 203.89 m → S 48.122101°
W 15.004577°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 48.123935°
W 15.007324°		 ← 203.88 m →
41 566 m²		 S 48.123935°
W 15.004577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458316802978516 y=0.652896881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458316802978516 × 217)
    floor (0.458316802978516 × 131072)
    floor (60072.5)     		tx = 60072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652896881103516 × 217)
    floor (0.652896881103516 × 131072)
    floor (85576.5)     		ty = 85576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60072 / 85576 ti = "17/60072/85576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60072/85576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60072 ÷ 217
    60072 ÷ 131072     		x = 0.45831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85576 ÷ 217
    85576 ÷ 131072     		y = 0.65289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.0833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26192722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.3057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.960655468385925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26192722} λ = -0.26192722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960655468385925))-π/2
    2×atan(0.382641994028012)-π/2
    2×0.365453610446974-π/2
    0.730907220893948-1.57079632675     		φ = -0.83988911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26192722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.007324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83988911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.122101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60072 KachelY 85576 -0.26192722 -0.83988911 -15.007324 -48.122101
    Oben rechts KachelX + 1 60073 KachelY 85576 -0.26187928 -0.83988911 -15.004577 -48.122101
    Unten links KachelX 60072 KachelY + 1 85577 -0.26192722 -0.83992111 -15.007324 -48.123935
    Unten rechts KachelX + 1 60073 KachelY + 1 85577 -0.26187928 -0.83992111 -15.004577 -48.123935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83988911--0.83992111) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83988911--0.83992111) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26192722--0.26187928) × cos(-0.83988911) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667545395212953 × 6371000     		do = 203.885546316611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26192722--0.26187928) × cos(-0.83992111) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.66752156865996 × 6371000     		du = 203.878269074031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83988911)-sin(-0.83992111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667545395212953-0.66752156865996)×R²
    abs(-0.26187928--0.26192722)×2.38265529932669e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38265529932669e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38265529932669e-05×40589641000000     		ar = 41565.8122892453m²