Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6007 / 7030
↖ ↑ ↗
← N 24.726875°
W 48.010254°		 ← 2 219.26 m → N 24.726875°
W 47.988281°		 →
↑
2 219.40 m
↓
↑
2 219.40 m
↓
N 24.706915°
W 48.010254°		 ← 2 219.62 m →
4 925 823 m²		 N 24.706915°
W 47.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366668701171875 y=0.429107666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366668701171875 × 214)
    floor (0.366668701171875 × 16384)
    floor (6007.5)     		tx = 6007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429107666015625 × 214)
    floor (0.429107666015625 × 16384)
    floor (7030.5)     		ty = 7030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6007 / 7030 ti = "14/6007/7030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6007/7030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6007 ÷ 214
    6007 ÷ 16384     		x = 0.36663818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7030 ÷ 214
    7030 ÷ 16384     		y = 0.4290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36663818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2667236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83793701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.445621418868042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83793701} λ = -0.83793701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445621418868042))-π/2
    2×atan(1.56146021524672)-π/2
    2×1.00118085350116-π/2
    2.00236170700232-1.57079632675     		φ = 0.43156538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83793701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43156538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.726875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6007 KachelY 7030 -0.83793701 0.43156538 -48.010254 24.726875
    Oben rechts KachelX + 1 6008 KachelY 7030 -0.83755351 0.43156538 -47.988281 24.726875
    Unten links KachelX 6007 KachelY + 1 7031 -0.83793701 0.43121702 -48.010254 24.706915
    Unten rechts KachelX + 1 6008 KachelY + 1 7031 -0.83755351 0.43121702 -47.988281 24.706915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43156538-0.43121702) × R
    0.000348359999999992 × 6371000     		dl = 2219.40155999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43156538-0.43121702) × R
    0.000348359999999992 × 6371000     		dr = 2219.40155999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83793701--0.83755351) × cos(0.43156538) × R
    0.000383499999999981 × 0.908312075053467 × 6371000     		do = 2219.25936426841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83793701--0.83755351) × cos(0.43121702) × R
    0.000383499999999981 × 0.908457736544525 × 6371000     		du = 2219.61525585779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43156538)-sin(0.43121702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908312075053467-0.908457736544525)×R²
    abs(-0.83755351--0.83793701)×0.000145661491058102×R²
    0.000383499999999981×0.000145661491058102×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145661491058102×40589641000000     		ar = 4925822.67808965m²