Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60068 / 83697
↖ ↑ ↗
← S 44.561120°
W 15.018311°		 ← 217.62 m → S 44.561120°
W 15.015564°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.563077°
W 15.018311°		 ← 217.61 m →
47 346 m²		 S 44.563077°
W 15.015564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458286285400391 y=0.638561248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458286285400391 × 217)
    floor (0.458286285400391 × 131072)
    floor (60068.5)     		tx = 60068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638561248779297 × 217)
    floor (0.638561248779297 × 131072)
    floor (83697.5)     		ty = 83697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60068 / 83697 ti = "17/60068/83697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60068/83697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60068 ÷ 217
    60068 ÷ 131072     		x = 0.458282470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83697 ÷ 217
    83697 ÷ 131072     		y = 0.638557434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458282470703125 × 2 - 1) × π
    -0.08343505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26211897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638557434082031 × 2 - 1) × π
    -0.277114868164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.87058203399984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26211897} λ = -0.26211897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87058203399984))-π/2
    2×atan(0.418707776150688)-π/2
    2×0.396529028776837-π/2
    0.793058057553674-1.57079632675     		φ = -0.77773827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26211897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.018311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77773827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.561120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60068 KachelY 83697 -0.26211897 -0.77773827 -15.018311 -44.561120
    Oben rechts KachelX + 1 60069 KachelY 83697 -0.26207103 -0.77773827 -15.015564 -44.561120
    Unten links KachelX 60068 KachelY + 1 83698 -0.26211897 -0.77777242 -15.018311 -44.563077
    Unten rechts KachelX + 1 60069 KachelY + 1 83698 -0.26207103 -0.77777242 -15.015564 -44.563077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77773827--0.77777242) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77773827--0.77777242) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26211897--0.26207103) × cos(-0.77773827) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.712502346506132 × 6371000     		do = 217.616556433481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26211897--0.26207103) × cos(-0.77777242) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.71247838406948 × 6371000     		du = 217.609237688535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77773827)-sin(-0.77777242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712502346506132-0.71247838406948)×R²
    abs(-0.26207103--0.26211897)×2.39624366512592e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39624366512592e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39624366512592e-05×40589641000000     		ar = 47345.9618536034m²