Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 60068 / 59949
↖ ↑ ↗
← S 81.554654°
E149.963379°		 ← 89.70 m → S 81.554654°
E149.968872°		 →
↑
89.70 m
↓
↑
89.70 m
↓
S 81.555461°
E149.963379°		 ← 89.70 m →
8 046 m²		 S 81.555461°
E149.968872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916572570800781 y=0.914756774902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916572570800781 × 216)
    floor (0.916572570800781 × 65536)
    floor (60068.5)     		tx = 60068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914756774902344 × 216)
    floor (0.914756774902344 × 65536)
    floor (59949.5)     		ty = 59949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60068 / 59949 ti = "16/60068/59949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60068/59949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60068 ÷ 216
    60068 ÷ 65536     		x = 0.91656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59949 ÷ 216
    59949 ÷ 65536     		y = 0.914749145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91656494140625 × 2 - 1) × π
    0.8331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61735472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914749145507812 × 2 - 1) × π
    -0.829498291015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60594573714549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61735472} λ = 2.61735472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60594573714549))-π/2
    2×atan(0.0738332772952991)-π/2
    2×0.0736995506696368-π/2
    0.147399101339274-1.57079632675     		φ = -1.42339723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61735472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.963379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42339723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.554654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60068 KachelY 59949 2.61735472 -1.42339723 149.963379 -81.554654
    Oben rechts KachelX + 1 60069 KachelY 59949 2.61745059 -1.42339723 149.968872 -81.554654
    Unten links KachelX 60068 KachelY + 1 59950 2.61735472 -1.42341131 149.963379 -81.555461
    Unten rechts KachelX + 1 60069 KachelY + 1 59950 2.61745059 -1.42341131 149.968872 -81.555461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42339723--1.42341131) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dl = 89.7036800008819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42339723--1.42341131) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dr = 89.7036800008819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61735472-2.61745059) × cos(-1.42339723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146865932055746 × 6371000     		do = 89.7039151292988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61735472-2.61745059) × cos(-1.42341131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146852004718975 × 6371000     		du = 89.6954084823301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42339723)-sin(-1.42341131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146865932055746-0.146852004718975)×R²
    abs(2.61745059-2.61735472)×1.39273367715798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39273367715798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39273367715798e-05×40589641000000     		ar = 8046.3897588242m²