Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60066 / 83700
↖ ↑ ↗
← S 44.566991°
W 15.023804°		 ← 217.59 m → S 44.566991°
W 15.021057°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.568948°
W 15.023804°		 ← 217.59 m →
47 341 m²		 S 44.568948°
W 15.021057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458271026611328 y=0.638584136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458271026611328 × 217)
    floor (0.458271026611328 × 131072)
    floor (60066.5)     		tx = 60066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638584136962891 × 217)
    floor (0.638584136962891 × 131072)
    floor (83700.5)     		ty = 83700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60066 / 83700 ti = "17/60066/83700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60066/83700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60066 ÷ 217
    60066 ÷ 131072     		x = 0.458267211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83700 ÷ 217
    83700 ÷ 131072     		y = 0.638580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458267211914062 × 2 - 1) × π
    -0.083465576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26221484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.27716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.8707258446987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26221484} λ = -0.26221484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8707258446987))-π/2
    2×atan(0.41864756582233)-π/2
    2×0.396477798631492-π/2
    0.792955597262985-1.57079632675     		φ = -0.77784073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26221484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.023804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77784073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.566991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60066 KachelY 83700 -0.26221484 -0.77784073 -15.023804 -44.566991
    Oben rechts KachelX + 1 60067 KachelY 83700 -0.26216690 -0.77784073 -15.021057 -44.566991
    Unten links KachelX 60066 KachelY + 1 83701 -0.26221484 -0.77787488 -15.023804 -44.568948
    Unten rechts KachelX + 1 60067 KachelY + 1 83701 -0.26216690 -0.77787488 -15.021057 -44.568948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77784073--0.77787488) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77784073--0.77787488) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26221484--0.26216690) × cos(-0.77784073) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.712430449686054 × 6371000     		do = 217.594597294005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26221484--0.26216690) × cos(-0.77787488) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.712406484756518 × 6371000     		du = 217.587277787668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77784073)-sin(-0.77787488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712430449686054-0.712406484756518)×R²
    abs(-0.26216690--0.26221484)×2.39649295354916e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39649295354916e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39649295354916e-05×40589641000000     		ar = 47341.1841285313m²