Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60066 / 59947
↖ ↑ ↗
← S 81.553040°
E149.952392°		 ← 89.73 m → S 81.553040°
E149.957886°		 →
↑
89.70 m
↓
↑
89.70 m
↓
S 81.553847°
E149.952392°		 ← 89.72 m →
8 049 m²		 S 81.553847°
E149.957886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916542053222656 y=0.914726257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916542053222656 × 216)
    floor (0.916542053222656 × 65536)
    floor (60066.5)     		tx = 60066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914726257324219 × 216)
    floor (0.914726257324219 × 65536)
    floor (59947.5)     		ty = 59947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60066 / 59947 ti = "16/60066/59947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60066/59947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60066 ÷ 216
    60066 ÷ 65536     		x = 0.916534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59947 ÷ 216
    59947 ÷ 65536     		y = 0.914718627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916534423828125 × 2 - 1) × π
    0.83306884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61716297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914718627929688 × 2 - 1) × π
    -0.829437255859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60575398954701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61716297} λ = 2.61716297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60575398954701))-π/2
    2×atan(0.0738474360063144)-π/2
    2×0.0737136326003571-π/2
    0.147427265200714-1.57079632675     		φ = -1.42336906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61716297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.952392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42336906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.553040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60066 KachelY 59947 2.61716297 -1.42336906 149.952392 -81.553040
    Oben rechts KachelX + 1 60067 KachelY 59947 2.61725885 -1.42336906 149.957886 -81.553040
    Unten links KachelX 60066 KachelY + 1 59948 2.61716297 -1.42338314 149.952392 -81.553847
    Unten rechts KachelX + 1 60067 KachelY + 1 59948 2.61725885 -1.42338314 149.957886 -81.553847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42336906--1.42338314) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dl = 89.7036800008819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42336906--1.42338314) × R
    1.40800000001384e-05 × 6371000     		dr = 89.7036800008819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61716297-2.61725885) × cos(-1.42336906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146893796533462 × 6371000     		do = 89.7302930152254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61716297-2.61725885) × cos(-1.42338314) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146879869254945 × 6371000     		du = 89.721785516531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42336906)-sin(-1.42338314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146893796533462-0.146879869254945)×R²
    abs(2.61725885-2.61716297)×1.39272785168454e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39272785168454e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39272785168454e-05×40589641000000     		ar = 8048.75591457643m²