Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60065 / 59956
↖ ↑ ↗
← S 81.560299°
E149.946900°		 ← 89.64 m → S 81.560299°
E149.952392°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 81.561105°
E149.946900°		 ← 89.64 m →
8 035 m²		 S 81.561105°
E149.952392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916526794433594 y=0.914863586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916526794433594 × 216)
    floor (0.916526794433594 × 65536)
    floor (60065.5)     		tx = 60065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914863586425781 × 216)
    floor (0.914863586425781 × 65536)
    floor (59956.5)     		ty = 59956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60065 / 59956 ti = "16/60065/59956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60065/59956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60065 ÷ 216
    60065 ÷ 65536     		x = 0.916519165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59956 ÷ 216
    59956 ÷ 65536     		y = 0.91485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916519165039062 × 2 - 1) × π
    0.833038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61706710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.8297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60661685374017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61706710} λ = 2.61706710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60661685374017))-π/2
    2×atan(0.0737837431811087)-π/2
    2×0.0736502849401826-π/2
    0.147300569880365-1.57079632675     		φ = -1.42349576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61706710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.946900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42349576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.560299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60065 KachelY 59956 2.61706710 -1.42349576 149.946900 -81.560299
    Oben rechts KachelX + 1 60066 KachelY 59956 2.61716297 -1.42349576 149.952392 -81.560299
    Unten links KachelX 60065 KachelY + 1 59957 2.61706710 -1.42350983 149.946900 -81.561105
    Unten rechts KachelX + 1 60066 KachelY + 1 59957 2.61716297 -1.42350983 149.952392 -81.561105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42349576--1.42350983) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42349576--1.42350983) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61706710-2.61716297) × cos(-1.42349576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146768469762199 × 6371000     		do = 89.6443863523638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61706710-2.61716297) × cos(-1.42350983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146754552113486 × 6371000     		du = 89.6358856227432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42349576)-sin(-1.42350983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146768469762199-0.146754552113486)×R²
    abs(2.61716297-2.61706710)×1.3917648712225e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3917648712225e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3917648712225e-05×40589641000000     		ar = 8035.33910061133m²