Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60064 / 85564
↖ ↑ ↗
← S 48.100095°
W 15.029297°		 ← 203.93 m → S 48.100095°
W 15.026550°		 →
↑
204 m
↓
↑
204 m
↓
S 48.101929°
W 15.029297°		 ← 203.92 m →
41 601 m²		 S 48.101929°
W 15.026550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458255767822266 y=0.652805328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458255767822266 × 217)
    floor (0.458255767822266 × 131072)
    floor (60064.5)     		tx = 60064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652805328369141 × 217)
    floor (0.652805328369141 × 131072)
    floor (85564.5)     		ty = 85564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60064 / 85564 ti = "17/60064/85564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60064/85564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60064 ÷ 217
    60064 ÷ 131072     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85564 ÷ 217
    85564 ÷ 131072     		y = 0.652801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.30560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.960080225590485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960080225590485))-π/2
    2×atan(0.382862169399386)-π/2
    2×0.365645651906256-π/2
    0.731291303812512-1.57079632675     		φ = -0.83950502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83950502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.100095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60064 KachelY 85564 -0.26231071 -0.83950502 -15.029297 -48.100095
    Oben rechts KachelX + 1 60065 KachelY 85564 -0.26226278 -0.83950502 -15.026550 -48.100095
    Unten links KachelX 60064 KachelY + 1 85565 -0.26231071 -0.83953704 -15.029297 -48.101929
    Unten rechts KachelX + 1 60065 KachelY + 1 85565 -0.26226278 -0.83953704 -15.026550 -48.101929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83950502--0.83953704) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dl = 203.99941999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83950502--0.83953704) × R
    3.20199999999105e-05 × 6371000     		dr = 203.99941999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26226278) × cos(-0.83950502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66783132751185 × 6371000     		do = 203.930329866738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26226278) × cos(-0.83953704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667807494278508 × 6371000     		du = 203.923052102223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83950502)-sin(-0.83953704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66783132751185-0.667807494278508)×R²
    abs(-0.26226278--0.26231071)×2.38332333424296e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38332333424296e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38332333424296e-05×40589641000000     		ar = 41600.9266868665m²