Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60064 / 59960
↖ ↑ ↗
← S 81.563523°
E149.941406°		 ← 89.62 m → S 81.563523°
E149.946900°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 81.564329°
E149.941406°		 ← 89.61 m →
8 033 m²		 S 81.564329°
E149.946900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916511535644531 y=0.914924621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916511535644531 × 216)
    floor (0.916511535644531 × 65536)
    floor (60064.5)     		tx = 60064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914924621582031 × 216)
    floor (0.914924621582031 × 65536)
    floor (59960.5)     		ty = 59960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60064 / 59960 ti = "16/60064/59960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60064/59960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60064 ÷ 216
    60064 ÷ 65536     		x = 0.91650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59960 ÷ 216
    59960 ÷ 65536     		y = 0.9149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91650390625 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61697122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9149169921875 × 2 - 1) × π
    -0.829833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60700034893713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61697122} λ = 2.61697122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60700034893713))-π/2
    2×atan(0.0737554528949262)-π/2
    2×0.0736221477751483-π/2
    0.147244295550297-1.57079632675     		φ = -1.42355203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61697122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42355203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.563523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60064 KachelY 59960 2.61697122 -1.42355203 149.941406 -81.563523
    Oben rechts KachelX + 1 60065 KachelY 59960 2.61706710 -1.42355203 149.946900 -81.563523
    Unten links KachelX 60064 KachelY + 1 59961 2.61697122 -1.42356610 149.941406 -81.564329
    Unten rechts KachelX + 1 60065 KachelY + 1 59961 2.61706710 -1.42356610 149.946900 -81.564329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42355203--1.42356610) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42355203--1.42356610) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61697122-2.61706710) × cos(-1.42355203) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146712808884839 × 6371000     		do = 89.619736442202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61697122-2.61706710) × cos(-1.42356610) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146698891119955 × 6371000     		du = 89.6112347549243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42355203)-sin(-1.42356610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146712808884839-0.146698891119955)×R²
    abs(2.61706710-2.61697122)×1.39177648840472e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39177648840472e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39177648840472e-05×40589641000000     		ar = 8033.12944063178m²