Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60064 / 34208
↖ ↑ ↗
← N 64.886265°
W 15.029297°		 ← 129.60 m → N 64.886265°
W 15.026550°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
N 64.885100°
W 15.029297°		 ← 129.61 m →
16 795 m²		 N 64.885100°
W 15.026550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458255767822266 y=0.260990142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458255767822266 × 217)
    floor (0.458255767822266 × 131072)
    floor (60064.5)     		tx = 60064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260990142822266 × 217)
    floor (0.260990142822266 × 131072)
    floor (34208.5)     		ty = 34208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60064 / 34208 ti = "17/60064/34208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60064/34208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60064 ÷ 217
    60064 ÷ 131072     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34208 ÷ 217
    34208 ÷ 131072     		y = 0.260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260986328125 × 2 - 1) × π
    0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50176719129712))-π/2
    2×atan(4.48961607446293)-π/2
    2×1.35163764874458-π/2
    2.70327529748916-1.57079632675     		φ = 1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60064 KachelY 34208 -0.26231071 1.13247897 -15.029297 64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 60065 KachelY 34208 -0.26226278 1.13247897 -15.026550 64.886265
    Unten links KachelX 60064 KachelY + 1 34209 -0.26231071 1.13245863 -15.029297 64.885100
    Unten rechts KachelX + 1 60065 KachelY + 1 34209 -0.26226278 1.13245863 -15.026550 64.885100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13247897-1.13245863) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13247897-1.13245863) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26226278) × cos(1.13247897) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 129.600680514498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26226278) × cos(1.13245863) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.424434905680156 × 6371000     		du = 129.60630440143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13247897)-sin(1.13245863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.424434905680156)×R²
    abs(-0.26226278--0.26231071)×1.84171127387001e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84171127387001e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84171127387001e-05×40589641000000     		ar = 16794.8163187327m²