Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60063 / 59963
↖ ↑ ↗
← S 81.565941°
E149.935913°		 ← 89.58 m → S 81.565941°
E149.941406°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 81.566746°
E149.935913°		 ← 89.58 m →
8 024 m²		 S 81.566746°
E149.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916496276855469 y=0.914970397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916496276855469 × 216)
    floor (0.916496276855469 × 65536)
    floor (60063.5)     		tx = 60063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914970397949219 × 216)
    floor (0.914970397949219 × 65536)
    floor (59963.5)     		ty = 59963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60063 / 59963 ti = "16/60063/59963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60063/59963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60063 ÷ 216
    60063 ÷ 65536     		x = 0.916488647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59963 ÷ 216
    59963 ÷ 65536     		y = 0.914962768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916488647460938 × 2 - 1) × π
    0.832977294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61687535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914962768554688 × 2 - 1) × π
    -0.829925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60728797033485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61687535} λ = 2.61687535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60728797033485))-π/2
    2×atan(0.0737342422989319)-π/2
    2×0.0736010519048797-π/2
    0.147202103809759-1.57079632675     		φ = -1.42359422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61687535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.935913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42359422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.565941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60063 KachelY 59963 2.61687535 -1.42359422 149.935913 -81.565941
    Oben rechts KachelX + 1 60064 KachelY 59963 2.61697122 -1.42359422 149.941406 -81.565941
    Unten links KachelX 60063 KachelY + 1 59964 2.61687535 -1.42360828 149.935913 -81.566746
    Unten rechts KachelX + 1 60064 KachelY + 1 59964 2.61697122 -1.42360828 149.941406 -81.566746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42359422--1.42360828) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42359422--1.42360828) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61687535-2.61697122) × cos(-1.42359422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146671075286772 × 6371000     		do = 89.5848989979075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61687535-2.61697122) × cos(-1.42360828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146657167326687 × 6371000     		du = 89.5764041859823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42359422)-sin(-1.42360828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146671075286772-0.146657167326687)×R²
    abs(2.61697122-2.61687535)×1.39079600844361e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39079600844361e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39079600844361e-05×40589641000000     		ar = 8024.29973810559m²