Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60063 / 59952
↖ ↑ ↗
← S 81.557073°
E149.935913°		 ← 89.68 m → S 81.557073°
E149.941406°		 →
↑
89.70 m
↓
↑
89.70 m
↓
S 81.557880°
E149.935913°		 ← 89.67 m →
8 044 m²		 S 81.557880°
E149.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916496276855469 y=0.914802551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916496276855469 × 216)
    floor (0.916496276855469 × 65536)
    floor (60063.5)     		tx = 60063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914802551269531 × 216)
    floor (0.914802551269531 × 65536)
    floor (59952.5)     		ty = 59952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60063 / 59952 ti = "16/60063/59952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60063/59952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60063 ÷ 216
    60063 ÷ 65536     		x = 0.916488647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59952 ÷ 216
    59952 ÷ 65536     		y = 0.914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916488647460938 × 2 - 1) × π
    0.832977294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61687535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61687535} λ = 2.61687535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60623335854321))-π/2
    2×atan(0.0738120443185607)-π/2
    2×0.0736784327808579-π/2
    0.147356865561716-1.57079632675     		φ = -1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61687535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.935913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60063 KachelY 59952 2.61687535 -1.42343946 149.935913 -81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 60064 KachelY 59952 2.61697122 -1.42343946 149.941406 -81.557073
    Unten links KachelX 60063 KachelY + 1 59953 2.61687535 -1.42345354 149.935913 -81.557880
    Unten rechts KachelX + 1 60064 KachelY + 1 59953 2.61697122 -1.42345354 149.941406 -81.557880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42343946--1.42345354) × R
    1.40799999999164e-05 × 6371000     		dl = 89.7036799994673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42343946--1.42345354) × R
    1.40799999999164e-05 × 6371000     		dr = 89.7036799994673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61687535-2.61697122) × cos(-1.42343946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 89.6784011767334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61687535-2.61697122) × cos(-1.42345354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146810232425641 × 6371000     		du = 89.6698944764371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42343946)-sin(-1.42345354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.146810232425641)×R²
    abs(2.61697122-2.61687535)×1.39274240810172e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39274240810172e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39274240810172e-05×40589641000000     		ar = 8044.10106088554m²