Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60061 / 85585
↖ ↑ ↗
← S 48.138600°
W 15.037537°		 ← 203.82 m → S 48.138600°
W 15.034790°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
S 48.140432°
W 15.037537°		 ← 203.81 m →
41 539 m²		 S 48.140432°
W 15.034790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458232879638672 y=0.652965545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458232879638672 × 217)
    floor (0.458232879638672 × 131072)
    floor (60061.5)     		tx = 60061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652965545654297 × 217)
    floor (0.652965545654297 × 131072)
    floor (85585.5)     		ty = 85585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60061 / 85585 ti = "17/60061/85585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60061/85585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60061 ÷ 217
    60061 ÷ 131072     		x = 0.458229064941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85585 ÷ 217
    85585 ÷ 131072     		y = 0.652961730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458229064941406 × 2 - 1) × π
    -0.0835418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26245453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652961730957031 × 2 - 1) × π
    -0.305923461914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.961086900482506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26245453} λ = -0.26245453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961086900482506))-π/2
    2×atan(0.382476945596444)-π/2
    2×0.365309633319793-π/2
    0.730619266639586-1.57079632675     		φ = -0.84017706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26245453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.037537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84017706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.138600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60061 KachelY 85585 -0.26245453 -0.84017706 -15.037537 -48.138600
    Oben rechts KachelX + 1 60062 KachelY 85585 -0.26240659 -0.84017706 -15.034790 -48.138600
    Unten links KachelX 60061 KachelY + 1 85586 -0.26245453 -0.84020905 -15.037537 -48.140432
    Unten rechts KachelX + 1 60062 KachelY + 1 85586 -0.26240659 -0.84020905 -15.034790 -48.140432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84017706--0.84020905) × R
    3.19899999999818e-05 × 6371000     		dl = 203.808289999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84017706--0.84020905) × R
    3.19899999999818e-05 × 6371000     		dr = 203.808289999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26245453--0.26240659) × cos(-0.84017706) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667330968868614 × 6371000     		do = 203.820054991716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26245453--0.26240659) × cos(-0.84020905) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667307143613514 × 6371000     		du = 203.812778145546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84017706)-sin(-0.84020905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667330968868614-0.667307143613514)×R²
    abs(-0.26240659--0.26245453)×2.38252550994744e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38252550994744e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38252550994744e-05×40589641000000     		ar = 41539.4753383435m²