Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60061 / 59629
↖ ↑ ↗
← S 81.292535°
E149.924927°		 ← 92.48 m → S 81.292535°
E149.930420°		 →
↑
92.44 m
↓
↑
92.44 m
↓
S 81.293366°
E149.924927°		 ← 92.47 m →
8 548 m²		 S 81.293366°
E149.930420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916465759277344 y=0.909873962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916465759277344 × 216)
    floor (0.916465759277344 × 65536)
    floor (60061.5)     		tx = 60061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909873962402344 × 216)
    floor (0.909873962402344 × 65536)
    floor (59629.5)     		ty = 59629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60061 / 59629 ti = "16/60061/59629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60061/59629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60061 ÷ 216
    60061 ÷ 65536     		x = 0.916458129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59629 ÷ 216
    59629 ÷ 65536     		y = 0.909866333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916458129882812 × 2 - 1) × π
    0.832916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61668360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909866333007812 × 2 - 1) × π
    -0.819732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57526612138866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61668360} λ = 2.61668360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57526612138866))-π/2
    2×atan(0.0761335593339259)-π/2
    2×0.0759869706734442-π/2
    0.151973941346888-1.57079632675     		φ = -1.41882239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61668360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.924927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41882239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.292535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60061 KachelY 59629 2.61668360 -1.41882239 149.924927 -81.292535
    Oben rechts KachelX + 1 60062 KachelY 59629 2.61677948 -1.41882239 149.930420 -81.292535
    Unten links KachelX 60061 KachelY + 1 59630 2.61668360 -1.41883690 149.924927 -81.293366
    Unten rechts KachelX + 1 60062 KachelY + 1 59630 2.61677948 -1.41883690 149.930420 -81.293366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41882239--1.41883690) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dl = 92.4432099997936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41882239--1.41883690) × R
    1.45099999999676e-05 × 6371000     		dr = 92.4432099997936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61668360-2.61677948) × cos(-1.41882239) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151389611681325 × 6371000     		do = 92.4765683521019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61668360-2.61677948) × cos(-1.41883690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151375268905177 × 6371000     		du = 92.4678070460645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41882239)-sin(-1.41883690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151389611681325-0.151375268905177)×R²
    abs(2.61677948-2.61668360)×1.43427761482295e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43427761482295e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43427761482295e-05×40589641000000     		ar = 8548.42586697471m²