Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60060 / 82579
↖ ↑ ↗
← S 42.332154°
W 15.040283°		 ← 225.74 m → S 42.332154°
W 15.037537°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 42.334184°
W 15.040283°		 ← 225.73 m →
50 954 m²		 S 42.334184°
W 15.037537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458225250244141 y=0.630031585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458225250244141 × 217)
    floor (0.458225250244141 × 131072)
    floor (60060.5)     		tx = 60060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630031585693359 × 217)
    floor (0.630031585693359 × 131072)
    floor (82579.5)     		ty = 82579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60060 / 82579 ti = "17/60060/82579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60060/82579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60060 ÷ 217
    60060 ÷ 131072     		x = 0.458221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82579 ÷ 217
    82579 ÷ 131072     		y = 0.630027770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458221435546875 × 2 - 1) × π
    -0.08355712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26250246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630027770996094 × 2 - 1) × π
    -0.260055541992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.816988580224617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26250246} λ = -0.26250246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.816988580224617))-π/2
    2×atan(0.441759978166311)-π/2
    2×0.415980430034915-π/2
    0.831960860069831-1.57079632675     		φ = -0.73883547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26250246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.040283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73883547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.332154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60060 KachelY 82579 -0.26250246 -0.73883547 -15.040283 -42.332154
    Oben rechts KachelX + 1 60061 KachelY 82579 -0.26245453 -0.73883547 -15.037537 -42.332154
    Unten links KachelX 60060 KachelY + 1 82580 -0.26250246 -0.73887090 -15.040283 -42.334184
    Unten rechts KachelX + 1 60061 KachelY + 1 82580 -0.26245453 -0.73887090 -15.037537 -42.334184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73883547--0.73887090) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dl = 225.724529999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73883547--0.73887090) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dr = 225.724529999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26250246--0.26245453) × cos(-0.73883547) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739253286324166 × 6371000     		do = 225.739884195995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26250246--0.26245453) × cos(-0.73887090) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.739229426324362 × 6371000     		du = 225.732598258019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73883547)-sin(-0.73887090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739253286324166-0.739229426324362)×R²
    abs(-0.26245453--0.26250246)×2.38599998043654e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38599998043654e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38599998043654e-05×40589641000000     		ar = 50954.2069601527m²