Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60058 / 59957
↖ ↑ ↗
← S 81.561105°
E149.908447°		 ← 89.65 m → S 81.561105°
E149.913941°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 81.561912°
E149.908447°		 ← 89.64 m →
8 035 m²		 S 81.561912°
E149.913941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916419982910156 y=0.914878845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916419982910156 × 216)
    floor (0.916419982910156 × 65536)
    floor (60058.5)     		tx = 60058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914878845214844 × 216)
    floor (0.914878845214844 × 65536)
    floor (59957.5)     		ty = 59957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60058 / 59957 ti = "16/60058/59957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60058/59957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60058 ÷ 216
    60058 ÷ 65536     		x = 0.916412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59957 ÷ 216
    59957 ÷ 65536     		y = 0.914871215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916412353515625 × 2 - 1) × π
    0.83282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61639598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914871215820312 × 2 - 1) × π
    -0.829742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60671272753941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61639598} λ = 2.61639598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60671272753941))-π/2
    2×atan(0.0737766695924191)-π/2
    2×0.0736432496482373-π/2
    0.147286499296475-1.57079632675     		φ = -1.42350983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61639598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.908447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42350983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.561105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60058 KachelY 59957 2.61639598 -1.42350983 149.908447 -81.561105
    Oben rechts KachelX + 1 60059 KachelY 59957 2.61649186 -1.42350983 149.913941 -81.561105
    Unten links KachelX 60058 KachelY + 1 59958 2.61639598 -1.42352390 149.908447 -81.561912
    Unten rechts KachelX + 1 60059 KachelY + 1 59958 2.61649186 -1.42352390 149.913941 -81.561912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42350983--1.42352390) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42350983--1.42352390) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61639598-2.61649186) × cos(-1.42350983) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146754552113486 × 6371000     		do = 89.6452353552015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61639598-2.61649186) × cos(-1.42352390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146740634435722 × 6371000     		du = 89.636733721141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42350983)-sin(-1.42352390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146754552113486-0.146740634435722)×R²
    abs(2.61649186-2.61639598)×1.39176777644578e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39176777644578e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39176777644578e-05×40589641000000     		ar = 8035.4151648641m²