Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60058 / 59954
↖ ↑ ↗
← S 81.558686°
E149.908447°		 ← 89.67 m → S 81.558686°
E149.913941°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 81.559492°
E149.908447°		 ← 89.66 m →
8 038 m²		 S 81.559492°
E149.913941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916419982910156 y=0.914833068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916419982910156 × 216)
    floor (0.916419982910156 × 65536)
    floor (60058.5)     		tx = 60058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914833068847656 × 216)
    floor (0.914833068847656 × 65536)
    floor (59954.5)     		ty = 59954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60058 / 59954 ti = "16/60058/59954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60058/59954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60058 ÷ 216
    60058 ÷ 65536     		x = 0.916412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59954 ÷ 216
    59954 ÷ 65536     		y = 0.914825439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916412353515625 × 2 - 1) × π
    0.83282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61639598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914825439453125 × 2 - 1) × π
    -0.82965087890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60642510614169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61639598} λ = 2.61639598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60642510614169))-π/2
    2×atan(0.0737978923931659)-π/2
    2×0.0736643575258176-π/2
    0.147328715051635-1.57079632675     		φ = -1.42346761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61639598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.908447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42346761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.558686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60058 KachelY 59954 2.61639598 -1.42346761 149.908447 -81.558686
    Oben rechts KachelX + 1 60059 KachelY 59954 2.61649186 -1.42346761 149.913941 -81.558686
    Unten links KachelX 60058 KachelY + 1 59955 2.61639598 -1.42348168 149.908447 -81.559492
    Unten rechts KachelX + 1 60059 KachelY + 1 59955 2.61649186 -1.42348168 149.913941 -81.559492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42346761--1.42348168) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42346761--1.42348168) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61639598-2.61649186) × cos(-1.42346761) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146796314864123 × 6371000     		do = 89.6707461932365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61639598-2.61649186) × cos(-1.42348168) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.146782397273544 × 6371000     		du = 89.6622446124334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42346761)-sin(-1.42348168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146796314864123-0.146782397273544)×R²
    abs(2.61649186-2.61639598)×1.39175905787825e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.39175905787825e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.39175905787825e-05×40589641000000     		ar = 8037.701958036m²