Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60057 / 82589
↖ ↑ ↗
← S 42.352455°
W 15.048523°		 ← 225.67 m → S 42.352455°
W 15.045777°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 42.354485°
W 15.048523°		 ← 225.66 m →
50 938 m²		 S 42.354485°
W 15.045777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458202362060547 y=0.630107879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458202362060547 × 217)
    floor (0.458202362060547 × 131072)
    floor (60057.5)     		tx = 60057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630107879638672 × 217)
    floor (0.630107879638672 × 131072)
    floor (82589.5)     		ty = 82589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60057 / 82589 ti = "17/60057/82589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60057/82589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60057 ÷ 217
    60057 ÷ 131072     		x = 0.458198547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82589 ÷ 217
    82589 ÷ 131072     		y = 0.630104064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458198547363281 × 2 - 1) × π
    -0.0836029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26264627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630104064941406 × 2 - 1) × π
    -0.260208129882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.817467949220818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26264627} λ = -0.26264627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817467949220818))-π/2
    2×atan(0.441548262877943)-π/2
    2×0.415803271081981-π/2
    0.831606542163961-1.57079632675     		φ = -0.73918978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26264627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.048523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73918978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.352455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60057 KachelY 82589 -0.26264627 -0.73918978 -15.048523 -42.352455
    Oben rechts KachelX + 1 60058 KachelY 82589 -0.26259834 -0.73918978 -15.045777 -42.352455
    Unten links KachelX 60057 KachelY + 1 82590 -0.26264627 -0.73922521 -15.048523 -42.354485
    Unten rechts KachelX + 1 60058 KachelY + 1 82590 -0.26259834 -0.73922521 -15.045777 -42.354485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73918978--0.73922521) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dl = 225.724529999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73918978--0.73922521) × R
    3.54299999999474e-05 × 6371000     		dr = 225.724529999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26264627--0.26259834) × cos(-0.73918978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.739014637835364 × 6371000     		do = 225.66701000926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26264627--0.26259834) × cos(-0.73922521) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.738990768557211 × 6371000     		du = 225.659721238028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73918978)-sin(-0.73922521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739014637835364-0.738990768557211)×R²
    abs(-0.26259834--0.26264627)×2.38692781535654e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38692781535654e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38692781535654e-05×40589641000000     		ar = 50937.7571488512m²