Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60057 / 59965
↖ ↑ ↗
← S 81.567552°
E149.902954°		 ← 89.57 m → S 81.567552°
E149.908447°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 81.568357°
E149.902954°		 ← 89.56 m →
8 023 m²		 S 81.568357°
E149.908447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916404724121094 y=0.915000915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916404724121094 × 216)
    floor (0.916404724121094 × 65536)
    floor (60057.5)     		tx = 60057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915000915527344 × 216)
    floor (0.915000915527344 × 65536)
    floor (59965.5)     		ty = 59965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60057 / 59965 ti = "16/60057/59965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60057/59965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60057 ÷ 216
    60057 ÷ 65536     		x = 0.916397094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59965 ÷ 216
    59965 ÷ 65536     		y = 0.914993286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916397094726562 × 2 - 1) × π
    0.832794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61630011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914993286132812 × 2 - 1) × π
    -0.829986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60747971793333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61630011} λ = 2.61630011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60747971793333))-π/2
    2×atan(0.0737201052904573)-π/2
    2×0.073586991325443-π/2
    0.147173982650886-1.57079632675     		φ = -1.42362234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61630011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.902954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42362234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.567552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60057 KachelY 59965 2.61630011 -1.42362234 149.902954 -81.567552
    Oben rechts KachelX + 1 60058 KachelY 59965 2.61639598 -1.42362234 149.908447 -81.567552
    Unten links KachelX 60057 KachelY + 1 59966 2.61630011 -1.42363640 149.902954 -81.568357
    Unten rechts KachelX + 1 60058 KachelY + 1 59966 2.61639598 -1.42363640 149.908447 -81.568357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42362234--1.42363640) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dl = 89.576259998827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42362234--1.42363640) × R
    1.40599999998159e-05 × 6371000     		dr = 89.576259998827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61630011-2.61639598) × cos(-1.42362234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146643259337611 × 6371000     		do = 89.5679093563493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61630011-2.61639598) × cos(-1.42363640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146629351319546 × 6371000     		du = 89.5594145090103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42362234)-sin(-1.42363640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146643259337611-0.146629351319546)×R²
    abs(2.61639598-2.61630011)×1.39080180648898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39080180648898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39080180648898e-05×40589641000000     		ar = 8022.7778677327m²