Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60055 / 59959
↖ ↑ ↗
← S 81.562717°
E149.891968°		 ← 89.62 m → S 81.562717°
E149.897461°		 →
↑
89.64 m
↓
↑
89.64 m
↓
S 81.563523°
E149.891968°		 ← 89.61 m →
8 033 m²		 S 81.563523°
E149.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916374206542969 y=0.914909362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916374206542969 × 216)
    floor (0.916374206542969 × 65536)
    floor (60055.5)     		tx = 60055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914909362792969 × 216)
    floor (0.914909362792969 × 65536)
    floor (59959.5)     		ty = 59959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60055 / 59959 ti = "16/60055/59959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60055/59959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60055 ÷ 216
    60055 ÷ 65536     		x = 0.916366577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59959 ÷ 216
    59959 ÷ 65536     		y = 0.914901733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916366577148438 × 2 - 1) × π
    0.832733154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61610836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914901733398438 × 2 - 1) × π
    -0.829803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60690447513789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61610836} λ = 2.61610836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60690447513789))-π/2
    2×atan(0.0737625244493928)-π/2
    2×0.0736291810657821-π/2
    0.147258362131564-1.57079632675     		φ = -1.42353796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61610836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.891968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42353796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.562717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60055 KachelY 59959 2.61610836 -1.42353796 149.891968 -81.562717
    Oben rechts KachelX + 1 60056 KachelY 59959 2.61620423 -1.42353796 149.897461 -81.562717
    Unten links KachelX 60055 KachelY + 1 59960 2.61610836 -1.42355203 149.891968 -81.563523
    Unten rechts KachelX + 1 60056 KachelY + 1 59960 2.61620423 -1.42355203 149.897461 -81.563523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42353796--1.42355203) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dl = 89.6399699998545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42353796--1.42355203) × R
    1.40699999999772e-05 × 6371000     		dr = 89.6399699998545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61610836-2.61620423) × cos(-1.42353796) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146726726620679 × 6371000     		do = 89.618890152042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61610836-2.61620423) × cos(-1.42355203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146712808884839 × 6371000     		du = 89.6103893692048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42353796)-sin(-1.42355203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146726726620679-0.146712808884839)×R²
    abs(2.61620423-2.61610836)×1.391773584003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.391773584003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.391773584003e-05×40589641000000     		ar = 8033.05361995757m²