Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60054 / 85581
↖ ↑ ↗
← S 48.131267°
W 15.056762°		 ← 203.81 m → S 48.131267°
W 15.054016°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 48.133101°
W 15.056762°		 ← 203.80 m →
41 550 m²		 S 48.133101°
W 15.054016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458179473876953 y=0.652935028076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458179473876953 × 217)
    floor (0.458179473876953 × 131072)
    floor (60054.5)     		tx = 60054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652935028076172 × 217)
    floor (0.652935028076172 × 131072)
    floor (85581.5)     		ty = 85581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60054 / 85581 ti = "17/60054/85581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60054/85581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60054 ÷ 217
    60054 ÷ 131072     		x = 0.458175659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85581 ÷ 217
    85581 ÷ 131072     		y = 0.652931213378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458175659179688 × 2 - 1) × π
    -0.083648681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26279008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652931213378906 × 2 - 1) × π
    -0.305862426757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.960895152884026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26279008} λ = -0.26279008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960895152884026))-π/2
    2×atan(0.382550291663978)-π/2
    2×0.365373617443499-π/2
    0.730747234886998-1.57079632675     		φ = -0.84004909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26279008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.056762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84004909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.131267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60054 KachelY 85581 -0.26279008 -0.84004909 -15.056762 -48.131267
    Oben rechts KachelX + 1 60055 KachelY 85581 -0.26274215 -0.84004909 -15.054016 -48.131267
    Unten links KachelX 60054 KachelY + 1 85582 -0.26279008 -0.84008109 -15.056762 -48.133101
    Unten rechts KachelX + 1 60055 KachelY + 1 85582 -0.26274215 -0.84008109 -15.054016 -48.133101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84004909--0.84008109) × R
    3.1999999999921e-05 × 6371000     		dl = 203.871999999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84004909--0.84008109) × R
    3.1999999999921e-05 × 6371000     		dr = 203.871999999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26279008--0.26274215) × cos(-0.84004909) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667426270506328 × 6371000     		do = 203.80664083703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26279008--0.26274215) × cos(-0.84008109) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667402440536296 × 6371000     		du = 203.799364069006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84004909)-sin(-0.84008109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667426270506328-0.667402440536296)×R²
    abs(-0.26274215--0.26279008)×2.3829970032474e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3829970032474e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3829970032474e-05×40589641000000     		ar = 41549.7257195662m²