Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 60054 / 82600
↖ ↑ ↗
← S 42.374778°
W 15.056762°		 ← 225.59 m → S 42.374778°
W 15.054016°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
S 42.376808°
W 15.056762°		 ← 225.58 m →
50 905 m²		 S 42.376808°
W 15.054016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458179473876953 y=0.630191802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458179473876953 × 217)
    floor (0.458179473876953 × 131072)
    floor (60054.5)     		tx = 60054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630191802978516 × 217)
    floor (0.630191802978516 × 131072)
    floor (82600.5)     		ty = 82600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60054 / 82600 ti = "17/60054/82600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60054/82600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60054 ÷ 217
    60054 ÷ 131072     		x = 0.458175659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82600 ÷ 217
    82600 ÷ 131072     		y = 0.63018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458175659179688 × 2 - 1) × π
    -0.083648681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26279008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.2603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.817995255116638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26279008} λ = -0.26279008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817995255116638))-π/2
    2×atan(0.44131549325143)-π/2
    2×0.41560846230394-π/2
    0.831216924607879-1.57079632675     		φ = -0.73957940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26279008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.056762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73957940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.374778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60054 KachelY 82600 -0.26279008 -0.73957940 -15.056762 -42.374778
    Oben rechts KachelX + 1 60055 KachelY 82600 -0.26274215 -0.73957940 -15.054016 -42.374778
    Unten links KachelX 60054 KachelY + 1 82601 -0.26279008 -0.73961482 -15.056762 -42.376808
    Unten rechts KachelX + 1 60055 KachelY + 1 82601 -0.26274215 -0.73961482 -15.054016 -42.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73957940--0.73961482) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dl = 225.660820000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73957940--0.73961482) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dr = 225.660820000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26279008--0.26274215) × cos(-0.73957940) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.738752098897704 × 6371000     		do = 225.58684058604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26279008--0.26274215) × cos(-0.73961482) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.738728226160028 × 6371000     		du = 225.579550758402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73957940)-sin(-0.73961482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738752098897704-0.738728226160028)×R²
    abs(-0.26274215--0.26279008)×2.38727376755676e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38727376755676e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38727376755676e-05×40589641000000     		ar = 50905.288918888m²