Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60054 / 59623
↖ ↑ ↗
← S 81.287543°
E149.886475°		 ← 92.52 m → S 81.287543°
E149.891968°		 →
↑
92.57 m
↓
↑
92.57 m
↓
S 81.288376°
E149.886475°		 ← 92.51 m →
8 564 m²		 S 81.288376°
E149.891968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916358947753906 y=0.909782409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916358947753906 × 216)
    floor (0.916358947753906 × 65536)
    floor (60054.5)     		tx = 60054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909782409667969 × 216)
    floor (0.909782409667969 × 65536)
    floor (59623.5)     		ty = 59623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60054 / 59623 ti = "16/60054/59623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60054/59623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60054 ÷ 216
    60054 ÷ 65536     		x = 0.916351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59623 ÷ 216
    59623 ÷ 65536     		y = 0.909774780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916351318359375 × 2 - 1) × π
    0.83270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61601249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909774780273438 × 2 - 1) × π
    -0.819549560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57469087859322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61601249} λ = 2.61601249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57469087859322))-π/2
    2×atan(0.0761773672142998)-π/2
    2×0.0760305259482619-π/2
    0.152061051896524-1.57079632675     		φ = -1.41873527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61601249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.886475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41873527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.287543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60054 KachelY 59623 2.61601249 -1.41873527 149.886475 -81.287543
    Oben rechts KachelX + 1 60055 KachelY 59623 2.61610836 -1.41873527 149.891968 -81.287543
    Unten links KachelX 60054 KachelY + 1 59624 2.61601249 -1.41874980 149.886475 -81.288376
    Unten rechts KachelX + 1 60055 KachelY + 1 59624 2.61610836 -1.41874980 149.891968 -81.288376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41873527--1.41874980) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dl = 92.5706300004339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41873527--1.41874980) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dr = 92.5706300004339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61601249-2.61610836) × cos(-1.41873527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151475726976422 × 6371000     		do = 92.5195214890559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61601249-2.61610836) × cos(-1.41874980) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151461364622429 × 6371000     		du = 92.5107491388884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41873527)-sin(-1.41874980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151475726976422-0.151461364622429)×R²
    abs(2.61610836-2.61601249)×1.43623539931859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43623539931859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43623539931859e-05×40589641000000     		ar = 8564.18436038378m²