Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60053 / 59617
↖ ↑ ↗
← S 81.282549°
E149.880981°		 ← 92.58 m → S 81.282549°
E149.886475°		 →
↑
92.57 m
↓
↑
92.57 m
↓
S 81.283382°
E149.880981°		 ← 92.57 m →
8 570 m²		 S 81.283382°
E149.886475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916343688964844 y=0.909690856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916343688964844 × 216)
    floor (0.916343688964844 × 65536)
    floor (60053.5)     		tx = 60053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909690856933594 × 216)
    floor (0.909690856933594 × 65536)
    floor (59617.5)     		ty = 59617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60053 / 59617 ti = "16/60053/59617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60053/59617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60053 ÷ 216
    60053 ÷ 65536     		x = 0.916336059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59617 ÷ 216
    59617 ÷ 65536     		y = 0.909683227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916336059570312 × 2 - 1) × π
    0.832672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61591661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909683227539062 × 2 - 1) × π
    -0.819366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57411563579778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61591661} λ = 2.61591661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57411563579778))-π/2
    2×atan(0.0762212003020907)-π/2
    2×0.0760741059958713-π/2
    0.152148211991743-1.57079632675     		φ = -1.41864811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61591661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.880981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41864811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.282549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60053 KachelY 59617 2.61591661 -1.41864811 149.880981 -81.282549
    Oben rechts KachelX + 1 60054 KachelY 59617 2.61601249 -1.41864811 149.886475 -81.282549
    Unten links KachelX 60053 KachelY + 1 59618 2.61591661 -1.41866264 149.880981 -81.283382
    Unten rechts KachelX + 1 60054 KachelY + 1 59618 2.61601249 -1.41866264 149.886475 -81.283382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41864811--1.41866264) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dl = 92.5706300004339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41864811--1.41866264) × R
    1.45300000000681e-05 × 6371000     		dr = 92.5706300004339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61591661-2.61601249) × cos(-1.41864811) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151561880659746 × 6371000     		do = 92.5817991125287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61591661-2.61601249) × cos(-1.41866264) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.151547518497633 × 6371000     		du = 92.5730259645456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41864811)-sin(-1.41866264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151561880659746-0.151547518497633)×R²
    abs(2.61601249-2.61591661)×1.43621621135903e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.43621621135903e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.43621621135903e-05×40589641000000     		ar = 8569.94940279536m²