Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60053 / 41499
↖ ↑ ↗
← N 54.935032°
W 15.059509°		 ← 175.47 m → N 54.935032°
W 15.056762°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
N 54.933454°
W 15.059509°		 ← 175.48 m →
30 788 m²		 N 54.933454°
W 15.056762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458171844482422 y=0.316616058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458171844482422 × 217)
    floor (0.458171844482422 × 131072)
    floor (60053.5)     		tx = 60053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316616058349609 × 217)
    floor (0.316616058349609 × 131072)
    floor (41499.5)     		ty = 41499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60053 / 41499 ti = "17/60053/41499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60053/41499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60053 ÷ 217
    60053 ÷ 131072     		x = 0.458168029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41499 ÷ 217
    41499 ÷ 131072     		y = 0.316612243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458168029785156 × 2 - 1) × π
    -0.0836639404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26283802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316612243652344 × 2 - 1) × π
    0.366775512695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.15225925616729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26283802} λ = -0.26283802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15225925616729))-π/2
    2×atan(3.16533614265665)-π/2
    2×1.26479675722482-π/2
    2.52959351444964-1.57079632675     		φ = 0.95879719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26283802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.059509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95879719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.935032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60053 KachelY 41499 -0.26283802 0.95879719 -15.059509 54.935032
    Oben rechts KachelX + 1 60054 KachelY 41499 -0.26279008 0.95879719 -15.056762 54.935032
    Unten links KachelX 60053 KachelY + 1 41500 -0.26283802 0.95876965 -15.059509 54.933454
    Unten rechts KachelX + 1 60054 KachelY + 1 41500 -0.26279008 0.95876965 -15.056762 54.933454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95879719-0.95876965) × R
    2.75399999999371e-05 × 6371000     		dl = 175.457339999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95879719-0.95876965) × R
    2.75399999999371e-05 × 6371000     		dr = 175.457339999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26283802--0.26279008) × cos(0.95879719) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574504902774623 × 6371000     		do = 175.468585063655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26283802--0.26279008) × cos(0.95876965) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574527444078157 × 6371000     		du = 175.475469757968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95879719)-sin(0.95876965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574504902774623-0.574527444078157)×R²
    abs(-0.26279008--0.26283802)×2.25413035341848e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25413035341848e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25413035341848e-05×40589641000000     		ar = 30787.8551756704m²