Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60052 / 82744
↖ ↑ ↗
← S 42.666281°
W 15.062256°		 ← 224.58 m → S 42.666281°
W 15.059509°		 →
↑
224.58 m
↓
↑
224.58 m
↓
S 42.668301°
W 15.062256°		 ← 224.58 m →
50 436 m²		 S 42.668301°
W 15.059509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458164215087891 y=0.631290435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458164215087891 × 217)
    floor (0.458164215087891 × 131072)
    floor (60052.5)     		tx = 60052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631290435791016 × 217)
    floor (0.631290435791016 × 131072)
    floor (82744.5)     		ty = 82744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60052 / 82744 ti = "17/60052/82744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60052/82744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60052 ÷ 217
    60052 ÷ 131072     		x = 0.458160400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82744 ÷ 217
    82744 ÷ 131072     		y = 0.63128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.08367919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26288596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.2625732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.824898168661926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26288596} λ = -0.26288596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824898168661926))-π/2
    2×atan(0.438279620792865)-π/2
    2×0.413064624459262-π/2
    0.826129248918524-1.57079632675     		φ = -0.74466708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26288596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.062256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74466708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.666281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60052 KachelY 82744 -0.26288596 -0.74466708 -15.062256 -42.666281
    Oben rechts KachelX + 1 60053 KachelY 82744 -0.26283802 -0.74466708 -15.059509 -42.666281
    Unten links KachelX 60052 KachelY + 1 82745 -0.26288596 -0.74470233 -15.062256 -42.668301
    Unten rechts KachelX + 1 60053 KachelY + 1 82745 -0.26283802 -0.74470233 -15.059509 -42.668301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74466708--0.74470233) × R
    3.52499999999312e-05 × 6371000     		dl = 224.577749999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74466708--0.74470233) × R
    3.52499999999312e-05 × 6371000     		dr = 224.577749999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26288596--0.26283802) × cos(-0.74466708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735313572015308 × 6371000     		do = 224.583691864672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26288596--0.26283802) × cos(-0.74470233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.735289681680055 × 6371000     		du = 224.576395141348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74466708)-sin(-0.74470233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735313572015308-0.735289681680055)×R²
    abs(-0.26283802--0.26288596)×2.3890335253185e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3890335253185e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3890335253185e-05×40589641000000     		ar = 50435.6808698486m²