Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60050 / 39537
↖ ↑ ↗
← N 57.913389°
W 15.067749°		 ← 162.24 m → N 57.913389°
W 15.065002°		 →
↑
162.27 m
↓
↑
162.27 m
↓
N 57.911930°
W 15.067749°		 ← 162.25 m →
26 327 m²		 N 57.911930°
W 15.065002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458148956298828 y=0.301647186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458148956298828 × 217)
    floor (0.458148956298828 × 131072)
    floor (60050.5)     		tx = 60050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301647186279297 × 217)
    floor (0.301647186279297 × 131072)
    floor (39537.5)     		ty = 39537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60050 / 39537 ti = "17/60050/39537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60050/39537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60050 ÷ 217
    60050 ÷ 131072     		x = 0.458145141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39537 ÷ 217
    39537 ÷ 131072     		y = 0.301643371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458145141601562 × 2 - 1) × π
    -0.083709716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26298183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301643371582031 × 2 - 1) × π
    0.396713256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.24631145322184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26298183} λ = -0.26298183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24631145322184))-π/2
    2×atan(3.47749237874153)-π/2
    2×1.29078782125416-π/2
    2.58157564250832-1.57079632675     		φ = 1.01077932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26298183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.067749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01077932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.913389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60050 KachelY 39537 -0.26298183 1.01077932 -15.067749 57.913389
    Oben rechts KachelX + 1 60051 KachelY 39537 -0.26293389 1.01077932 -15.065002 57.913389
    Unten links KachelX 60050 KachelY + 1 39538 -0.26298183 1.01075385 -15.067749 57.911930
    Unten rechts KachelX + 1 60051 KachelY + 1 39538 -0.26293389 1.01075385 -15.065002 57.911930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01077932-1.01075385) × R
    2.54699999999719e-05 × 6371000     		dl = 162.269369999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01077932-1.01075385) × R
    2.54699999999719e-05 × 6371000     		dr = 162.269369999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26298183--0.26293389) × cos(1.01077932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.531200606937963 × 6371000     		do = 162.242338462558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26298183--0.26293389) × cos(1.01075385) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.531222186123244 × 6371000     		du = 162.248929301191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01077932)-sin(1.01075385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531200606937963-0.531222186123244)×R²
    abs(-0.26293389--0.26298183)×2.15791852813396e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15791852813396e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15791852813396e-05×40589641000000     		ar = 26327.4967965303m²