Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6005 / 7033
↖ ↑ ↗
← N 24.666986°
W 48.054199°		 ← 2 220.33 m → N 24.666986°
W 48.032227°		 →
↑
2 220.48 m
↓
↑
2 220.48 m
↓
N 24.647017°
W 48.054199°		 ← 2 220.68 m →
4 930 595 m²		 N 24.647017°
W 48.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366546630859375 y=0.429290771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366546630859375 × 214)
    floor (0.366546630859375 × 16384)
    floor (6005.5)     		tx = 6005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429290771484375 × 214)
    floor (0.429290771484375 × 16384)
    floor (7033.5)     		ty = 7033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6005 / 7033 ti = "14/6005/7033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6005/7033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6005 ÷ 214
    6005 ÷ 16384     		x = 0.36651611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7033 ÷ 214
    7033 ÷ 16384     		y = 0.42926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.2669677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83870400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    0.1414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.444470933277161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83870400} λ = -0.83870400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444470933277161))-π/2
    2×atan(1.55966481075988)-π/2
    2×1.00065822787499-π/2
    2.00131645574999-1.57079632675     		φ = 0.43052013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83870400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43052013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.666986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6005 KachelY 7033 -0.83870400 0.43052013 -48.054199 24.666986
    Oben rechts KachelX + 1 6006 KachelY 7033 -0.83832050 0.43052013 -48.032227 24.666986
    Unten links KachelX 6005 KachelY + 1 7034 -0.83870400 0.43017160 -48.054199 24.647017
    Unten rechts KachelX + 1 6006 KachelY + 1 7034 -0.83832050 0.43017160 -48.032227 24.647017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43052013-0.43017160) × R
    0.000348530000000014 × 6371000     		dl = 2220.48463000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43052013-0.43017160) × R
    0.000348530000000014 × 6371000     		dr = 2220.48463000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83870400--0.83832050) × cos(0.43052013) × R
    0.000383499999999981 × 0.908748799720574 × 6371000     		do = 2220.32640425797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83870400--0.83832050) × cos(0.43017160) × R
    0.000383499999999981 × 0.908894201262582 × 6371000     		du = 2220.68166071943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43052013)-sin(0.43017160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908748799720574-0.908894201262582)×R²
    abs(-0.83832050--0.83870400)×0.000145401542008261×R²
    0.000383499999999981×0.000145401542008261×6371000²
    0.000383499999999981×0.000145401542008261×40589641000000     		ar = 4930595.12490597m²