Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60046 / 59961
↖ ↑ ↗
← S 81.564329°
E149.842530°		 ← 89.60 m → S 81.564329°
E149.848022°		 →
↑
89.58 m
↓
↑
89.58 m
↓
S 81.565135°
E149.842530°		 ← 89.59 m →
8 026 m²		 S 81.565135°
E149.848022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916236877441406 y=0.914939880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916236877441406 × 216)
    floor (0.916236877441406 × 65536)
    floor (60046.5)     		tx = 60046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914939880371094 × 216)
    floor (0.914939880371094 × 65536)
    floor (59961.5)     		ty = 59961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60046 / 59961 ti = "16/60046/59961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60046/59961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60046 ÷ 216
    60046 ÷ 65536     		x = 0.916229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59961 ÷ 216
    59961 ÷ 65536     		y = 0.914932250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916229248046875 × 2 - 1) × π
    0.83245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61524550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914932250976562 × 2 - 1) × π
    -0.829864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60709622273637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61524550} λ = 2.61524550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60709622273637))-π/2
    2×atan(0.0737483820184037)-π/2
    2×0.0736151151514945-π/2
    0.147230230302989-1.57079632675     		φ = -1.42356610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61524550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.842530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42356610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.564329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60046 KachelY 59961 2.61524550 -1.42356610 149.842530 -81.564329
    Oben rechts KachelX + 1 60047 KachelY 59961 2.61534137 -1.42356610 149.848022 -81.564329
    Unten links KachelX 60046 KachelY + 1 59962 2.61524550 -1.42358016 149.842530 -81.565135
    Unten rechts KachelX + 1 60047 KachelY + 1 59962 2.61534137 -1.42358016 149.848022 -81.565135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42356610--1.42358016) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dl = 89.5762600002417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42356610--1.42358016) × R
    1.40600000000379e-05 × 6371000     		dr = 89.5762600002417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61524550-2.61534137) × cos(-1.42356610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146698891119955 × 6371000     		do = 89.6018885686279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61524550-2.61534137) × cos(-1.42358016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.146684983217862 × 6371000     		du = 89.5933937921233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42356610)-sin(-1.42358016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146698891119955-0.146684983217862)×R²
    abs(2.61534137-2.61524550)×1.39079020927413e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.39079020927413e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.39079020927413e-05×40589641000000     		ar = 8025.82160199812m²