Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 60045 / 59777
↖ ↑ ↗
← S 81.414754°
E149.837036°		 ← 91.19 m → S 81.414754°
E149.842530°		 →
↑
91.17 m
↓
↑
91.17 m
↓
S 81.415574°
E149.837036°		 ← 91.18 m →
8 313 m²		 S 81.415574°
E149.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916221618652344 y=0.912132263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916221618652344 × 216)
    floor (0.916221618652344 × 65536)
    floor (60045.5)     		tx = 60045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912132263183594 × 216)
    floor (0.912132263183594 × 65536)
    floor (59777.5)     		ty = 59777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 60045 / 59777 ti = "16/60045/59777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/60045/59777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60045 ÷ 216
    60045 ÷ 65536     		x = 0.916213989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59777 ÷ 216
    59777 ÷ 65536     		y = 0.912124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916213989257812 × 2 - 1) × π
    0.832427978515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61514962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912124633789062 × 2 - 1) × π
    -0.824249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58945544367619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61514962} λ = 2.61514962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58945544367619))-π/2
    2×atan(0.075060903847868)-π/2
    2×0.0749204106155823-π/2
    0.149840821231165-1.57079632675     		φ = -1.42095551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61514962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.837036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42095551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.414754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60045 KachelY 59777 2.61514962 -1.42095551 149.837036 -81.414754
    Oben rechts KachelX + 1 60046 KachelY 59777 2.61524550 -1.42095551 149.842530 -81.414754
    Unten links KachelX 60045 KachelY + 1 59778 2.61514962 -1.42096982 149.837036 -81.415574
    Unten rechts KachelX + 1 60046 KachelY + 1 59778 2.61524550 -1.42096982 149.842530 -81.415574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42095551--1.42096982) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dl = 91.1690100004643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42095551--1.42096982) × R
    1.43100000000729e-05 × 6371000     		dr = 91.1690100004643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61514962-2.61524550) × cos(-1.42095551) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149280734831636 × 6371000     		do = 91.1883578073328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61514962-2.61524550) × cos(-1.42096982) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149266585161999 × 6371000     		du = 91.1797144606935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42095551)-sin(-1.42096982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149280734831636-0.149266585161999)×R²
    abs(2.61524550-2.61514962)×1.41496696370036e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41496696370036e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41496696370036e-05×40589641000000     		ar = 8313.15830223957m²