Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60044 / 41723
↖ ↑ ↗
← N 54.580021°
W 15.084228°		 ← 176.98 m → N 54.580021°
W 15.081482°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 54.578430°
W 15.084228°		 ← 176.98 m →
31 323 m²		 N 54.578430°
W 15.081482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458103179931641 y=0.318325042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458103179931641 × 217)
    floor (0.458103179931641 × 131072)
    floor (60044.5)     		tx = 60044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318325042724609 × 217)
    floor (0.318325042724609 × 131072)
    floor (41723.5)     		ty = 41723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60044 / 41723 ti = "17/60044/41723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60044/41723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60044 ÷ 217
    60044 ÷ 131072     		x = 0.458099365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41723 ÷ 217
    41723 ÷ 131072     		y = 0.318321228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458099365234375 × 2 - 1) × π
    -0.08380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26326945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318321228027344 × 2 - 1) × π
    0.363357543945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.1415213906524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26326945} λ = -0.26326945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1415213906524))-π/2
    2×atan(3.13152902184016)-π/2
    2×1.26169870433447-π/2
    2.52339740866893-1.57079632675     		φ = 0.95260108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26326945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.084228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95260108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.580021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60044 KachelY 41723 -0.26326945 0.95260108 -15.084228 54.580021
    Oben rechts KachelX + 1 60045 KachelY 41723 -0.26322152 0.95260108 -15.081482 54.580021
    Unten links KachelX 60044 KachelY + 1 41724 -0.26326945 0.95257330 -15.084228 54.578430
    Unten rechts KachelX + 1 60045 KachelY + 1 41724 -0.26322152 0.95257330 -15.081482 54.578430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95260108-0.95257330) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dl = 176.986380000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95260108-0.95257330) × R
    2.77800000000328e-05 × 6371000     		dr = 176.986380000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26326945--0.26322152) × cos(0.95260108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.579565365326982 × 6371000     		do = 176.977256474047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26326945--0.26322152) × cos(0.95257330) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.57958800374084 × 6371000     		du = 176.984169386059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95260108)-sin(0.95257330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579565365326982-0.57958800374084)×R²
    abs(-0.26322152--0.26326945)×2.263841385719e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.263841385719e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.263841385719e-05×40589641000000     		ar = 31323.1757132197m²