Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60043 / 85575
↖ ↑ ↗
← S 48.120268°
W 15.086975°		 ← 203.89 m → S 48.120268°
W 15.084228°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 48.122101°
W 15.086975°		 ← 203.89 m →
41 567 m²		 S 48.122101°
W 15.084228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458095550537109 y=0.652889251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458095550537109 × 217)
    floor (0.458095550537109 × 131072)
    floor (60043.5)     		tx = 60043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652889251708984 × 217)
    floor (0.652889251708984 × 131072)
    floor (85575.5)     		ty = 85575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60043 / 85575 ti = "17/60043/85575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60043/85575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60043 ÷ 217
    60043 ÷ 131072     		x = 0.458091735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85575 ÷ 217
    85575 ÷ 131072     		y = 0.652885437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458091735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0838165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26331739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652885437011719 × 2 - 1) × π
    -0.305770874023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.960607531486305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26331739} λ = -0.26331739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960607531486305))-π/2
    2×atan(0.382660337138523)-π/2
    2×0.365469610760888-π/2
    0.730939221521776-1.57079632675     		φ = -0.83985711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26331739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.086975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83985711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.120268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60043 KachelY 85575 -0.26331739 -0.83985711 -15.086975 -48.120268
    Oben rechts KachelX + 1 60044 KachelY 85575 -0.26326945 -0.83985711 -15.084228 -48.120268
    Unten links KachelX 60043 KachelY + 1 85576 -0.26331739 -0.83988911 -15.086975 -48.122101
    Unten rechts KachelX + 1 60044 KachelY + 1 85576 -0.26326945 -0.83988911 -15.084228 -48.122101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83985711--0.83988911) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83985711--0.83988911) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26331739--0.26326945) × cos(-0.83985711) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66756922108238 × 6371000     		do = 203.892823350176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26331739--0.26326945) × cos(-0.83988911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667545395212953 × 6371000     		du = 203.885546316375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83985711)-sin(-0.83988911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66756922108238-0.667545395212953)×R²
    abs(-0.26326945--0.26331739)×2.38258694268412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38258694268412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38258694268412e-05×40589641000000     		ar = 41567.2958939533m²