Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60043 / 41729
↖ ↑ ↗
← N 54.570470°
W 15.086975°		 ← 177.06 m → N 54.570470°
W 15.084228°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
N 54.568877°
W 15.086975°		 ← 177.06 m →
31 348 m²		 N 54.568877°
W 15.084228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458095550537109 y=0.318370819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458095550537109 × 217)
    floor (0.458095550537109 × 131072)
    floor (60043.5)     		tx = 60043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318370819091797 × 217)
    floor (0.318370819091797 × 131072)
    floor (41729.5)     		ty = 41729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60043 / 41729 ti = "17/60043/41729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60043/41729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60043 ÷ 217
    60043 ÷ 131072     		x = 0.458091735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41729 ÷ 217
    41729 ÷ 131072     		y = 0.318367004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458091735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0838165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26331739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318367004394531 × 2 - 1) × π
    0.363265991210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.14123376925468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26331739} λ = -0.26331739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14123376925468))-π/2
    2×atan(3.13062845660303)-π/2
    2×1.26161534686615-π/2
    2.5232306937323-1.57079632675     		φ = 0.95243437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26331739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.086975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95243437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.570470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60043 KachelY 41729 -0.26331739 0.95243437 -15.086975 54.570470
    Oben rechts KachelX + 1 60044 KachelY 41729 -0.26326945 0.95243437 -15.084228 54.570470
    Unten links KachelX 60043 KachelY + 1 41730 -0.26331739 0.95240658 -15.086975 54.568877
    Unten rechts KachelX + 1 60044 KachelY + 1 41730 -0.26326945 0.95240658 -15.084228 54.568877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95243437-0.95240658) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dl = 177.050089999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95243437-0.95240658) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dr = 177.050089999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26331739--0.26326945) × cos(0.95243437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579701213545382 × 6371000     		do = 177.05567212588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26331739--0.26326945) × cos(0.95240658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.579723857422917 × 6371000     		du = 177.062588148933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95243437)-sin(0.95240658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579701213545382-0.579723857422917)×R²
    abs(-0.26326945--0.26331739)×2.26438775349225e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.26438775349225e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.26438775349225e-05×40589641000000     		ar = 31348.3349279944m²