Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60042 / 41726
↖ ↑ ↗
← N 54.575246°
W 15.089722°		 ← 177.03 m → N 54.575246°
W 15.086975°		 →
↑
177.05 m
↓
↑
177.05 m
↓
N 54.573654°
W 15.089722°		 ← 177.04 m →
31 345 m²		 N 54.573654°
W 15.086975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458087921142578 y=0.318347930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458087921142578 × 217)
    floor (0.458087921142578 × 131072)
    floor (60042.5)     		tx = 60042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318347930908203 × 217)
    floor (0.318347930908203 × 131072)
    floor (41726.5)     		ty = 41726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60042 / 41726 ti = "17/60042/41726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60042/41726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60042 ÷ 217
    60042 ÷ 131072     		x = 0.458084106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41726 ÷ 217
    41726 ÷ 131072     		y = 0.318344116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458084106445312 × 2 - 1) × π
    -0.083831787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26336533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318344116210938 × 2 - 1) × π
    0.363311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14137757995354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26336533} λ = -0.26336533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14137757995354))-π/2
    2×atan(3.13107870684387)-π/2
    2×1.26165702804243-π/2
    2.52331405608487-1.57079632675     		φ = 0.95251773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26336533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.089722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95251773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.575246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60042 KachelY 41726 -0.26336533 0.95251773 -15.089722 54.575246
    Oben rechts KachelX + 1 60043 KachelY 41726 -0.26331739 0.95251773 -15.086975 54.575246
    Unten links KachelX 60042 KachelY + 1 41727 -0.26336533 0.95248994 -15.089722 54.573654
    Unten rechts KachelX + 1 60043 KachelY + 1 41727 -0.26331739 0.95248994 -15.086975 54.573654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95251773-0.95248994) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dl = 177.050089999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95251773-0.95248994) × R
    2.7789999999972e-05 × 6371000     		dr = 177.050089999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26336533--0.26331739) × cos(0.95251773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579633287375457 × 6371000     		do = 177.034925725371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26336533--0.26331739) × cos(0.95248994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579655932595861 × 6371000     		du = 177.04184215857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95251773)-sin(0.95248994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579633287375457-0.579655932595861)×R²
    abs(-0.26331739--0.26336533)×2.26452204034056e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26452204034056e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26452204034056e-05×40589641000000     		ar = 31344.6618122463m²